Matura (maj 2013, poziom podstawowy)

Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność .

Liczby i są dodatnie oraz liczby a jest równe liczby . Stąd wynika, że jest równe

Liczba jest równa

Rozwiązaniem układu równań

jest para liczb

Punkt leży na wykresie funkcji liniowej . Stąd wynika, że

Wierzchołkiem paraboli o równaniu jest punkt o współrzędnych

Dla każdej liczby rzeczywistej , wyrażenie jest równe

Prosta o równaniu jest prostopadła do prostej o równaniu . Stąd wynika, że

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej .

Jakie znaki mają współczynniki i ?

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest

Na rysunku 1 przedstawiony jest wykres funkcji określonej dla .

Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji

Ciąg jest geometryczny. Wtedy

Ciąg określony dla jest arytmetyczny oraz i . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Kąt jest ostry i . Wartość wyrażenia jest równa

Średnice i okręgu o środku przecinają się pod kątem (tak jak na rysunku).

Miara kąta jest równa

Liczba rzeczywistych rozwiązań równania jest równa

Punkty i są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu . Obwód tego rombu jest równy

Punkt jest środkiem odcinka , gdzie . Zatem punkt ma współrzędne

Odległość między środkami okręgów o równaniach oraz jest równa

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości i promieniu podstawy jest równe

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy . Wtedy

Liczba jest równa

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: jest równa . Wtedy

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości jest równa . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

Rozwiąż równanie

Kąt jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych takich, że prawdziwa jest nierówność .

Wskazówka: możesz skorzystać z tożsamości

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji określonej dla .

Odczytaj z wykresu i zapisz:

1. największą wartość funkcji ,

2. zbiór rozwiązań nierówności .

Rozwiąż nierówność .

Wykaż, że liczba jest podzielna przez .

Punkt jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym . Kąt jest trzy razy większy od kąta , a kąt jest dwa razy większy od kąta . Oblicz kąty trójkąta .

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe , a jego pole powierzchni bocznej jest równe . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.