Matura (czerwiec 2019, poziom rozszerzony, dodatkowy, (nowa formuła))

Parametr dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

z niewiadomą . Wynika stąd, że

Dane są trzy niewspółliniowe punkty: , , . Ile jest wszystkich punktów takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach jest równoległobokiem?

Wiadomo, że wielomian ma w zbiorze , dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

Nieskończony ciąg geometryczny jest określony w następujący sposób: oraz dla . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

W urnie znajduje się kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest kul białych i kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych. Zapisz trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy .

Dana jest funkcja określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Oblicz wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu .

Dwusieczne kątów i czworokąta wypukłego przecinają się w punkcie , przy czym punkty i leżą po przeciwnych stronach prostej (zobacz rysunek).

Wykaż, że .

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej wyrażenie jest podzielne przez .

Miara kąta wewnętrznego kąta foremnego jest o mniejsza od miary kąta wewnętrznego -kąta foremnego. Oblicz .

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny o boku długości . Na krawędziach bocznych i wybrano punkty, odpowiednio i , takie że oraz (zobacz rysunek). Płaszczyzna jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej ostrosłupa.

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne dodatnie rozwiązania i , spełniające nierówność .

Punkt jest wierzchołkiem rombu o polu . Przekątna zawiera się w prostej o równaniu . Wyznacz długość boku tego rombu.

Rozwiąż równanie w przedziale .

Dany jest okrąg o środku i promieniu . Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku i promieniu oraz drugi o środku i promieniu , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

• rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;

• obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku i promieniu ;

• punkty: nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach można obliczyć ze wzoru Herona , gdzie – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta jako funkcję zmiennej . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.