OKE Poznań
Wynik działania jest
36363636
16161616
12121212
6666
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Połową liczby jest
1201^{20}1201^{20}
2102^{10}2102^{10}
2192^{19}2192^{19}
(12)20\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{20}(21)20\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{20}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Wartość wyrażenia wynosi
5555
log735\log_735log735\log_735
2+log782+\log_782+log782+\log_78
log72+log73\log_72+\log_73log72+log73\log_72+\log_73
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Cena towaru wzrosła z ł do ł. O jaki procent wzrosła cena?
40%40\%40%40\%
4%4\%4%4\%
0,4%0{,}4\%0,4%0{,}4\%
0,04%0{,}04\%0,04%0{,}04\%
O ile procent więcej / mniej
Najprostszą postacią wyrażenia jest
7777
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
7+437+4\sqrt{3}7+437+4\sqrt{3}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Liczba jest ujemna, a liczba jest dodatnia. Wartość ujemną przyjmuje wyrażenie
x−yx-yx−yx-y
y−xy-xy−xy-x
(x−y)2\left(x-y\right)^2(x−y)2\left(x-y\right)^2
(y−x)2\left(y-x\right)^2(y−x)2\left(y-x\right)^2
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Liczba pierwiastków wielomianu jest równa
4444
3333
2222
1111
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Funkcje i przyjmują równą wartość dla
x=1x=1x=1x=1
x=4x=4x=4x=4
x=5x=5x=5x=5
x=6x=6x=6x=6
Punkt przecięcia prostych
Wykres funkcji znajduje się w ćwiartkach
IIIIIIII i IVIVIVIV
IIIIIIII i IIIIIIIIIIII
IIII i IIIIIIIIIIII
IIII i IIIIIIII
Funkcja wymierna (homograficzna)
Zbiorem wartości funkcji jest
[−6,+∞)\left[-6,+\infty\right)[−6,+∞)\left[-6,+\infty\right)
(−∞,−6)\left(-\infty,-6\right)(−∞,−6)\left(-\infty,-6\right)
(−∞,6]\left(-\infty,6\right](−∞,6]\left(-\infty,6\right]
[6,+∞)\left[6,+\infty\right)[6,+∞)\left[6,+\infty\right)
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
W ciągu arytmetycznym o różnicy siódmy wyraz wynosi . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
9999
29292929
132132132132
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Liczby w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba jest równa
2,52{,}52,52{,}5
10101010
0000
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
tg50∘\tg50^\circ tg50∘\tg50^\circ
cos50∘\cos50^\circ cos50∘\cos50^\circ
Wzory redukcyjne
Jeżeli wysokość trójkąta równobocznego wynosi , to długość jego boku jest równa
232\sqrt{3}232\sqrt{3}
433\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3} 343\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}
Trójkąt równoboczny
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej określonej wzorem jest równy
−13\displaystyle - \frac{1}{3} −31\displaystyle - \frac{1}{3}
−5-5−5-5
15\displaystyle \frac{1}{5} 51\displaystyle \frac{1}{5}
Proste prostopadłe
Podstawą ostrosłupa czworokątnego jest kwadrat o boku . Krawędź boczna o długości jest prostopadła do podstawy. Objętość tego ostrosłupa wynosi:
144144144144
48484848
16373\displaystyle \frac{16}{3}\sqrt{73} 31673\displaystyle \frac{16}{3}\sqrt{73}
167316\sqrt{73}167316\sqrt{73}
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Objętość walca o promieniu podstawy i wysokości razy większej od promienia jest równa
πr2(r−2)\pi r^2(r-2)πr2(r−2)\pi r^2(r-2)
πr2(r+2)\pi r^2(r+2)πr2(r+2)\pi r^2(r+2)
2πr32\pi r ^32πr32\pi r ^3
4πr34\pi r^34πr34\pi r^3
Walec
Pan Jakub ma marynarki, par różnych spodni i różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę.
280280280280
21212121
28282828
70707070
Kontekst praktyczny
Wyniki konkursu matematycznego podano w punktach . Medianą tego zestawu wyników jest
86868686
88888888
92929292
94949494
Mediana
Na loterii jest losów, z których są wygrywające. Kupujemy jeden los. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że nie wygramy nagrody jest równe
56\displaystyle \frac{5}{6} 65\displaystyle \frac{5}{6}
23\displaystyle \frac{2}{3} 32\displaystyle \frac{2}{3}
16\displaystyle \frac{1}{6} 61\displaystyle \frac{1}{6}
35\displaystyle \frac{3}{5} 53\displaystyle \frac{3}{5}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Uzasadnij, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta są wierzchołkami kwadratu.
Dowodzenie w planimetrii
W kwadracie dane są wierzchołek i środek symetrii . Oblicz pole kwadratu .
Kwadrat w układzie współrzędnych
Rzucamy czerwoną i zieloną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu takiej samej liczby oczek na obu kostkach.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Wiedząc, że kąt jest kątem ostrym i , oblicz .
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy , kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kąt .
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Wyznacz wzór funkcji w postaci kanonicznej wiedząc, że jej miejsca zerowe są rozwiązaniami równania .
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Szkoła zamówiła seans filmowy dla uczniów klas trzecich. Koszt seansu wyniósł ł. Ponieważ do kina nie przyszło uczniów, pozostali musieli dopłacić po ł za bilet. Jaka była planowana, a jaka rzeczywista cena biletów?
Układ równań - zadanie z treścią
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, w którym środkowy wyraz jest równy . Wyznacz długości boków trójkąta, oblicz jego pole oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie
