Ten typ obejmuje zadania, w których obliczamy lub upraszczamy wyrażenia z pierwiastkami. Z definicji pierwiastkowania pierwiastek stopnia n z liczby a to liczba b, której n-ta potęga jest równa a:

\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a

Dla parzystego n, np. dla pierwiastka kwadratowego, zakładamy a\ge0 i b\ge0. Pierwiastek sześcienny i inne pierwiastki nieparzystego stopnia istnieją także dla liczb ujemnych. Najczęściej korzystamy z własności pierwiastkowania:

\begin{aligned}\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}&=\sqrt[n]{a\cdot b}\\ \sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}&=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\\ \sqrt[n]{a^n\cdot b}&=a\sqrt[n]{b}\end{aligned}

Wzory te zachodzą dla nieujemnych a i b, przy czym w ilorazie b>0, a dla nieparzystego n — dla dowolnych liczb rzeczywistych. Szczególne przypadki dla pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia opisują własności pierwiastka kwadratowego i własności pierwiastka sześciennego.

Uwaga

Typowe błędy

Pierwiastek sumy nie jest sumą pierwiastków: \sqrt{9+16}=5, a \sqrt{9}+\sqrt{16}=7. Tak samo \sqrt{5}-\sqrt{2} nie jest równe \sqrt{3}. Pod jednym pierwiastkiem łączymy tylko iloczyny i ilorazy pierwiastków tego samego stopnia, a dodajemy tylko wyrazy podobne, np. 3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}. Pamiętaj też, że \sqrt{a^2}=|a|, a nie a.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

W tym wariancie liczbę podpierwiastkową rozkładamy na iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej (przy pierwiastku sześciennym — sześcianem), i wyłączamy ten czynnik przed znak pierwiastka:

\begin{aligned}\sqrt{a^2\cdot b}&=a\sqrt{b}\\ \sqrt[3]{a^3\cdot b}&=a\sqrt[3]{b}\end{aligned}

Pierwszy wzór stosujemy dla nieujemnych a i b, np. \sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}. Szukamy możliwie największego takiego czynnika.

W tym zadaniu zamieniamy jeden pierwiastek kwadratowy na iloczyn liczby naturalnej i pierwiastka — wystarczy znaleźć największy kwadrat liczby naturalnej, który dzieli liczbę podpierwiastkową.

Tutaj odejmujemy pierwiastki sześcienne. Po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka oba składniki mają ten sam pierwiastek, więc stają się wyrazami podobnymi i możemy je zredukować.

Tutaj po wyłączeniu czynników i redukcji wyrazów podobnych wynik trzeba jeszcze zapisać za pomocą potęgi o wykładniku wymiernym.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków tego samego stopnia

W tym wariancie mnożymy lub dzielimy pierwiastki. Zgodnie z własnościami pierwiastkowania pierwiastki tego samego stopnia zapisujemy jako jeden pierwiastek z iloczynu lub ilorazu, np. \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}, a liczba podpierwiastkowa zwykle upraszcza się do kwadratu lub sześcianu liczby wymiernej, np. \sqrt{2}\cdot\sqrt{18}=\sqrt{36}=6.

W tym zadaniu mnożymy pierwiastki sześcienne z ułamków. Po połączeniu ich pod jednym pierwiastkiem ułamki się skracają i pod pierwiastkiem zostaje sześcian liczby wymiernej.

Tutaj różnicę pierwiastków kwadratowych dzielimy przez pierwiastek, więc dzielimy osobno każdy składnik różnicy — oba ilorazy są pierwiastkami z liczb, które łatwo obliczyć.

Tutaj dzielimy pierwiastki różnych stopni, których nie połączymy pod jednym znakiem. Każdy obliczamy osobno: jeden wprost z definicji, a z drugiego wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka.

Pierwiastki z definicji — także z liczb ujemnych

W tym wariancie obliczamy pierwiastki wprost z definicji: szukamy liczby, której odpowiednia potęga jest równa liczbie podpierwiastkowej, np. \sqrt[5]{32}=2, bo 2^5=32. Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną:

\sqrt[n]{-a}=-\sqrt[n]{a}

Wzór ten stosujemy dla nieparzystego n.

W tym zadaniu dodajemy pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych, więc oba składniki są liczbami ujemnymi.

Tutaj pierwiastki z liczb ujemnych występują zarówno w liczniku, jak i w mianowniku ułamka, więc o znaku wyniku decydują znaki licznika i mianownika.

Tutaj sprawdzamy kilka równości z potęgami i pierwiastkami liczby ujemnej. Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje, a pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby jest jej wartością bezwzględną: \sqrt{a^2}=|a|.

Pierwiastek z pierwiastka — zamiana na potęgi

W tym wariancie pod pierwiastkiem stoi inny pierwiastek. Najwygodniej zapisać każdy pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym, \displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}, i skorzystać z własności potęg. Dla pierwiastka z pierwiastka otrzymujemy:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}=a^{\frac{1}{m\cdot n}} $Potęga o wykładniku wymiernym$

Zadania, w których przekształcamy potęgi o wykładnikach wymiernych, zostały zebrane w osobnym typie Potęgowanie: własności / działania na potęgach.

W tym zadaniu pierwiastek kwadratowy stoi nad pierwiastkiem sześciennym, a wynik zapisujemy jako potęgę — stopnie obu pierwiastków mnożymy.

Tutaj pod pierwiastkiem czwartego stopnia stoi iloczyn liczby i pierwiastka kwadratowego. Oba czynniki zapisujemy jako potęgi tej samej podstawy, dodajemy wykładniki, a dopiero potem dzielimy wykładnik przez stopień zewnętrznego pierwiastka.

Tutaj trzy pierwiastki są zagnieżdżone, ale pod każdym da się obliczyć pierwiastek z liczby, więc liczymy od środka, bez zamiany na potęgi.

Wzory skróconego mnożenia z pierwiastkami

W tym wariancie mnożymy wyrażenia z pierwiastkami, np. podnosimy różnicę pierwiastków do kwadratu albo mnożymy sumę przez różnicę. Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i z tego, że \left(\sqrt{a}\right)^2=a dla a\ge0:

\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\ (a-b)(a+b)&=a^2-b^2\end{aligned}

Zadania, w których stosujemy wzory skróconego mnożenia do wyrażeń algebraicznych, zostały zebrane w osobnym typie Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia.

W tym zadaniu podnosimy do kwadratu różnicę dwóch wyrażeń z pierwiastkami. Możemy skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy albo najpierw wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka — wtedy w nawiasie zostają wyrazy podobne.

Tutaj mnożymy różnicę i sumę tych samych pierwiastków, choć składniki zapisano w innej kolejności — po ich przestawieniu widać wzór na różnicę kwadratów.

Tutaj dwa iloczyny mają wspólny czynnik, który można wyłączyć przed nawias — wtedy pojawia się iloczyn sumy i różnicy tych samych pierwiastków.

Wynik działania √(18\sqrt[3]{2√(16)}) jest

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia