Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności .
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Spodnie po obniżce ceny o kosztują zł. Ile kosztowały spodnie przed obniżką?
163,80163{,}80163,80163{,}80 zł
180180180180 zł
294294294294 zł
420420420420 zł
Znajdywanie liczby, gdy dany jest jej procent
Liczba jest równa
1111
4444
9999
36363636
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
2222
log46\log_{4}{6}log46\log_{4}{6}
log410\displaystyle \log_{4}{10}log410\displaystyle \log_{4}{10}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dane są wielomiany i . Wielomian jest równy
5x2+12x−35x^2+12x-35x2+12x−35x^2+12x-3
4x3+5x2+12x−34x^3+5x^2+12x-34x3+5x2+12x−34x^3+5x^2+12x-3
4x6+5x2+12x−34x^6+5x^2+12x-34x6+5x2+12x−34x^6+5x^2+12x-3
4x3+12x2−34x^3+12x^2-34x3+12x2−34x^3+12x^2-3
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Rozwiązaniem równania
jest
73\displaystyle \frac{7}{3} 37\displaystyle \frac{7}{3}
47\displaystyle \frac{4}{7} 74\displaystyle \frac{4}{7}
7777
Równania wymierne
Do zbioru rozwiązań nierówności należy liczba
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie
(3,0)\left(3,0\right)(3,0)\left(3,0\right)
(0,3)\left(0,3\right)(0,3)\left(0,3\right)
(−3,0)\left(-3,0\right)(−3,0)\left(-3,0\right)
(0,−3)\left(0,-3\right)(0,−3)\left(0,-3\right)
Wierzchołek wykresu funkcji kwadratowej
Prosta o równaniu przecina w układzie współrzędnych oś w punkcie . Wtedy
m=−23\displaystyle m=- \frac{2}{3} m=−32\displaystyle m=- \frac{2}{3}
m=−13\displaystyle m=-\frac{1}{3} m=−31\displaystyle m=-\frac{1}{3}
m=13\displaystyle m=\frac{1}{3} m=31\displaystyle m=\frac{1}{3}
m=53\displaystyle m=\frac{5}{3} m=35\displaystyle m=\frac{5}{3}
Równanie prostej - zadania z parametrem
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji .
Które równanie ma dokładnie trzy rozwiązania?
f(x)=0f(x)=0f(x)=0f(x)=0
f(x)=1f(x)=1f(x)=1f(x)=1
f(x)=2f(x)=2f(x)=2f(x)=2
f(x)=3f(x)=3f(x)=3f(x)=3
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
W ciągu arytmetycznym dane są: i . Wtedy wyraz jest równy
13131313
0000
−13-13−13-13
−26-26−26-26
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
W ciągu geometrycznym dane są: oraz . Iloraz tego ciągu jest równy
8888
18\displaystyle \frac{1}{8} 81\displaystyle \frac{1}{8}
−12\displaystyle - \frac{1}{2} −21\displaystyle - \frac{1}{2}
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa
14141414
21212121
28282828
Wielokąt foremny
Kąt jest ostry i . Wartość wyrażenia jest równa
2516\displaystyle \frac{25}{16} 1625\displaystyle \frac{25}{16}
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
1716\displaystyle \frac{17}{16} 1617\displaystyle \frac{17}{16}
3116\displaystyle \frac{31}{16} 1631\displaystyle \frac{31}{16}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Okrąg opisany na kwadracie ma promień . Długość boku tego kwadratu jest równa
424\sqrt{2}424\sqrt{2}
222\sqrt{2}222\sqrt{2}
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość , a ramię ma długość . Wysokość opuszczona na podstawę ma długość
3333
34\sqrt{34}34\sqrt{34}
61\displaystyle \sqrt{61}61\displaystyle \sqrt{61}
Trójkąt równoramienny
Odcinki i są równoległe. Długości odcinków i są odpowiednio równe i . Długość odcinka jest równa
5555
6666
Podobieństwo trójkątów
Punkty leżące na okręgu o środku są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego jest równa
120∘120^\circ 120∘120^\circ
90∘90^\circ 90∘90^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
30∘30^\circ 30∘30^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa
3200 cm23200\ \text{cm}^23200 cm23200\ \text{cm}^2
6400 cm26400\ \text{cm}^26400 cm26400\ \text{cm}^2
1600 cm21600\ \text{cm}^21600 cm21600\ \text{cm}^2
800 cm2800\ \text{cm}^2800 cm2800\ \text{cm}^2
Trójkąt
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu jest równy:
−13\displaystyle - \frac{1}{3} −31\displaystyle - \frac{1}{3}
−3-3−3-3
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
Proste równoległe
Wskaż równanie okręgu o promieniu .
x2+y2=3x^2+y^2=3x2+y2=3x^2+y^2=3
x2+y2=6x^2+y^2=6x2+y2=6x^2+y^2=6
x2+y2=12x^2+y^2=12x2+y2=12x^2+y^2=12
x2+y2=36x^2+y^2=36x2+y2=36x^2+y^2=36
Równanie okręgu
Punkty i są wierzchołkami trójkąta równobocznego . Obwód tego trójkąta jest równy
30303030
454\sqrt{5}454\sqrt{5}
12512\sqrt{5}12512\sqrt{5}
Trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach jest równe
94949494
60606060
47474747
20202020
Prostopadłościan
Ostrosłup ma wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
11111111
18181818
27272727
34343434
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb jest równa . Wtedy
x=2x=2x=2x=2
x=3x=3x=3x=3
x=4x=4x=4x=4
x=5x=5x=5x=5
Średnia arytmetyczna / ważona
Rozwiąż nierówność .
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Trójkąty prostokątne równoramienne i są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że .
Kąt jest ostry i . Oblicz .
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Wykaż, że jeśli , to
Dowodzenie nierówności
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa . Oblicz obwód tego trapezu.
Trapez prostokątny
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt . Krawędź jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa , jeśli wiadomo, że , , .
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez . Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię . Basen w drugim hotelu ma powierzchnię oraz jest o dłuższy i szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Układ równań - zadanie z treścią
