Formuła 2015
Na początku sezonu letniego cenę 𝑥 pary sandałów podwyższono o . Po miesiącu nową cenę obniżono o . Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała zł. Początkowa cena pary sandałów była równa
45454545 zł
73,6373{,}6373,6373{,}63 zł
7575 7575 zł
87,4887{,}4887,4887{,}48 zł
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
Liczba jest równa
2242^{24}2242^{24}
2162^{16}2162^{16}
2122^{12}2122^{12}
282^8282^8
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
2222
3333
4444
9999
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia
jest równa wartości wyrażenia
8a28a^28a28a^2
8ab8ab8ab8ab
−8ab-8ab−8ab-8ab
2b22b^22b22b^2
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,−23)\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)(−∞,−32)\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)
(−∞,23)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)(−∞,32)\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)
(−23,+∞)\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)(−32,+∞)\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)
(23,+∞)\left(\frac{2}{3},+\infty\right)(32,+∞)\left(\frac{2}{3},+\infty\right)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania jest
(−2)\left(-2\right)(−2)\left(-2\right)
0000
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Równanie
w zbiorze liczb rzeczywistych
nie ma rozwiązania
ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1)(-1)(−1)(-1)
ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2)(-2)(−2)(-2) oraz 3333
ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1)(-1)(−1)(-1), (−2)(-2)(−2)(-2) oraz 3333
Równania wymierne
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło drzew w pierwszym sadzie i drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.Niech i oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie.Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
{x+y=19600,6⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,6\cdot0,95x=0,9y\end{cases}{x+y=19600,6⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,6\cdot0,95x=0,9y\end{cases}
{x+y=19600,95x=0,6⋅0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,95x=0,6\cdot0,9y\end{cases}{x+y=19600,95x=0,6⋅0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,95x=0,6\cdot0,9y\end{cases}
{x+y=19600,05x=0,6⋅0,1y\begin{cases}x+y=1960\\0,05x=0,6\cdot0,1y\end{cases}{x+y=19600,05x=0,6⋅0,1y\begin{cases}x+y=1960\\0,05x=0,6\cdot0,1y\end{cases}
{x+y=19600,4⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,4\cdot0,95x=0,9y\end{cases}{x+y=19600,4⋅0,95x=0,9y\begin{cases}x+y=1960\\0,4\cdot0,95x=0,9y\end{cases}
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
Średnia arytmetyczna trzech liczb: jest równa .
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: jest równa
6666
4,54{,}54,54{,}5
18181818
Średnia arytmetyczna / ważona
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
{y=−32x+3y=−32x−1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}{y=−23x+3y=−23x−1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}
{y=32x+3y=−23x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}{y=23x+3y=−32x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}
{y=32x+3y=32x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}{y=23x+3y=23x−1\displaystyle\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}
{y=−32x−3y=32x+1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}{y=−23x−3y=23x+1\displaystyle\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji .
Zbiorem wartości tej funkcji jest
(−6,6](-6,6](−6,6](-6,6]
[1,4)[1,4)[1,4)[1,4)
[1,4][1,4][1,4][1,4]
[−6,6][-6,6][−6,6][-6,6]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie . Funkcja jest malejąca dla każdej liczby należącej do przedziału
(−∞,1)(-\infty,1)(−∞,1)(-\infty,1)
(−∞,−32)\displaystyle\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)(−∞,−23)\displaystyle\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)
(1,+∞)(1,+\infty)(1,+∞)(1,+\infty)
(32,+∞)\displaystyle\left(\frac{3}{2},+\infty\right)(23,+∞)\displaystyle\left(\frac{3}{2},+\infty\right)
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcje liniowe oraz , określone wzorami oraz , mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik we wzorze funkcji jest równy
(−72)\displaystyle\left(-\frac{7}{2}\right)(−27)\displaystyle\left(-\frac{7}{2}\right)
(−27)\displaystyle\left(-\frac{2}{7}\right)(−72)\displaystyle\left(-\frac{2}{7}\right)
27\displaystyle\frac{2}{7}72\displaystyle\frac{2}{7}
72\displaystyle\frac{7}{2}27\displaystyle\frac{7}{2}
Miejsce zerowe funkcji liniowej - zadania z parametrem
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem
f(x)=−(x+1)2−9f(x)=-(x+1)^2-9f(x)=−(x+1)2−9f(x)=-(x+1)^2-9
f(x)=−(x−1)2+9f(x)=-(x-1)^2+9f(x)=−(x−1)2+9f(x)=-(x-1)^2+9
f(x)=−(x−1)2−9f(x)=-(x-1)^2-9f(x)=−(x−1)2−9f(x)=-(x-1)^2-9
f(x)=−(x+1)2+9f(x)=-(x+1)^2+9f(x)=−(x+1)2+9f(x)=-(x+1)^2+9
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Dla funkcji prawdziwa jest równość
f(−4)=f(6)f(-4)=f(6)f(−4)=f(6)f(-4)=f(6)
f(−4)=f(5)f(-4)=f(5)f(−4)=f(5)f(-4)=f(5)
f(−4)=f(4)f(-4)=f(4)f(−4)=f(4)f(-4)=f(4)
f(−4)=f(7)f(-4)=f(7)f(−4)=f(7)f(-4)=f(7)
W ciągu arytmetycznym , określonym dla każdej liczby naturalnej , dane są wyrazy oraz . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
72\displaystyle \frac{7}{2} 27\displaystyle \frac{7}{2}
92\displaystyle \frac{9}{2} 29\displaystyle \frac{9}{2}
7777
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Ciąg geometryczny jest określony wzorem , dla każdej liczby naturalnej . Iloraz tego ciągu jest równy
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
1111
Definicja
Ciąg jest określony wzorem , dla każdej liczby naturalnej . Liczba dodatnich wyrazów ciągu jest równa
8888
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
cos20∘\cos20^\circcos20∘\cos20^\circ
sin20∘\sin20^\circsin20∘\sin20^\circ
tg20∘\tg20^\circtg20∘\tg20^\circ
sin20∘⋅cos20∘\sin20^\circ\cdot \cos20^\circsin20∘⋅cos20∘\sin20^\circ\cdot \cos20^\circ
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Kąt jest ostry oraz . Wtedy
tgα=1213\displaystyle \tg\alpha= \frac{12}{13} tgα=1312\displaystyle \tg\alpha= \frac{12}{13}
tgα=125\displaystyle \tg\alpha= \frac{12}{5} tgα=512\displaystyle \tg\alpha= \frac{12}{5}
tgα=512\displaystyle \tg\alpha= \frac{5}{12} tgα=125\displaystyle \tg\alpha= \frac{5}{12}
tgα=1312\displaystyle \tg\alpha= \frac{13}{12} tgα=1213\displaystyle \tg\alpha= \frac{13}{12}
Dany jest równoległobok o bokach długości i oraz o kącie między nimi o mierze . Pole tego równoległoboku jest równe
12121212
12312\sqrt{3}12312\sqrt{3}
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
Równoległobok
W trójkącie bok ma długość . Prosta równoległa do boku przecina boki i – odpowiednio – w punktach 𝐴 oraz 𝐵 takich, że i (zobacz rysunek).
Długość odcinka jest równa
15151515
Podobieństwo trójkątów
W trójkącie , wpisanym w okrąg o środku w punkcie , kąt ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
42∘42^\circ42∘42^\circ
45∘45^\circ45∘45^\circ
48∘48^\circ48∘48^\circ
69∘69^\circ69∘69^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste i są określone równaniami
Proste oraz są prostopadłe, gdy liczba jest równa
(−12)\left(-\frac{1}{2}\right)(−21)\left(-\frac{1}{2}\right)
12\frac{1}{2}21\frac{1}{2}
(−3)(-3)(−3)(-3)
Proste prostopadłe
Na prostej o współczynniku kierunkowym leżą punkty oraz . Wtedy liczba jest równa
(−5)\left(-5\right)(−5)\left(-5\right)
10101010
Równanie prostej - zadania z parametrem
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe .
Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
361036\sqrt{10}361036\sqrt{10}
60606060
6106\sqrt{10}6106\sqrt{10}
360360360360
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa . Wysokość tego ostrosłupa jest równa . Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr , przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.Liczba wszystkich takich kodów jest równa
24242424
16161616
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takich, że , prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu . Jednym z miejsc zerowych funkcji jest liczba . Oblicz współczynniki oraz .
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy , a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa . Oblicz różnicę tego ciągu.
Suma ciągu arytmetycznego
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok , w którym oraz . Przekątne oraz tego równoległoboku przecinają się w punkcie . Oblicz długość boku tego równoległoboku.
Równoległobok w układzie współrzędnych
Dany jest pięcioelementowy zbiór . Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy .
Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem .
Oblicz cosinus kąta oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
.png)
