Formuła 2023
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
∣x−3,5∣≥1,5|x-3{,}5|\ge1{,}5∣x−3,5∣≥1,5|x-3{,}5|\ge1{,}5
∣x−1,5∣≥3,5|x-1{,}5|\ge3{,}5∣x−1,5∣≥3,5|x-1{,}5|\ge3{,}5
∣x−3,5∣≤1,5|x-3{,}5|\le1{,}5∣x−3,5∣≤1,5|x-3{,}5|\le1{,}5
∣x−1,5∣≤3,5|x-1{,}5|\le3{,}5∣x−1,5∣≤3,5|x-1{,}5|\le3{,}5
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Liczba jest równa
(−32)\displaystyle \left(- \frac{3}{2} \right)(−23)\displaystyle \left(- \frac{3}{2} \right)
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
23\displaystyle \frac{2}{3} 32\displaystyle \frac{2}{3}
(−23)\displaystyle \left(- \frac{2}{3} \right)(−32)\displaystyle \left(- \frac{2}{3} \right)
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
81818181
9999
4444
2222
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest równe
−24a-24a−24a-24a
0000
18181818
16a2−24a16a^2-24a16a2−24a16a^2-24a
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,−4](-\infty,-4](−∞,−4](-\infty,-4]
(−∞,4](-\infty,4](−∞,4](-\infty,4]
[−4,+∞)[-4,+\infty)[−4,+∞)[-4,+\infty)
[4,+∞)[4,+\infty)[4,+∞)[4,+\infty)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Jednym z rozwiązań równania jest liczba
3333
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
2\sqrt{2}2\sqrt{2}
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Równanie
w zbiorze liczb rzeczywistych
nie ma rozwiązania.
ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1-1−1-1.
ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1111.
ma dokładnie dwa rozwiązania: −1-1−1-1 oraz 1111.
Równania wymierne
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych jednego z niżej zapisanych układów równań A–D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
{y=−x+2y=−2x+1\begin{cases} \displaystyle y=-x+2\\ y=-2x+1 \end{cases}{y=−x+2y=−2x+1\begin{cases} \displaystyle y=-x+2\\ y=-2x+1 \end{cases}
{y=x−2y=−2x−1\begin{cases} \displaystyle y=x-2\\ y=-2x-1 \end{cases}{y=x−2y=−2x−1\begin{cases} \displaystyle y=x-2\\ y=-2x-1 \end{cases}
{y=x−2y=2x+1\begin{cases} \displaystyle y=x-2\\ y=2x+1 \end{cases}{y=x−2y=2x+1\begin{cases} \displaystyle y=x-2\\ y=2x+1 \end{cases}
{y=−x+2y=2x−1\begin{cases} \displaystyle y=-x+2\\ y=2x-1 \end{cases}{y=−x+2y=2x−1\begin{cases} \displaystyle y=-x+2\\ y=2x-1 \end{cases}
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Dany jest prostokąt o bokach długości i , gdzie . Obwód tego prostokąta jest równy . Jeden z boków prostokąta jest o krótszy od drugiego. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami
{2ab=30a−b=5\displaystyle \begin{cases} 2ab=30\\ a-b=5 \end{cases}{2ab=30a−b=5\displaystyle \begin{cases} 2ab=30\\ a-b=5 \end{cases}
{2a+b=30a=5b\begin{cases} 2a+b=30\\ a=5b \end{cases}{2a+b=30a=5b\begin{cases} 2a+b=30\\ a=5b \end{cases}
{2(a+b)=30b=a−5\begin{cases} 2(a+b)=30\\b=a-5 \end{cases}{2(a+b)=30b=a−5\begin{cases} 2(a+b)=30\\b=a-5 \end{cases}
{2a+2b=30b=5a\begin{cases} 2a+2b=30\\ b=5a \end{cases}{2a+2b=30b=5a\begin{cases} 2a+2b=30\\ b=5a \end{cases}
{2a+2b=30a−b=5\begin{cases} 2a+2b=30\\ a-b=5 \end{cases}{2a+2b=30a−b=5\begin{cases} 2a+2b=30\\ a-b=5 \end{cases}
{a+b=30a=b+5\begin{cases} a+b=30\\ a=b+5 \end{cases}{a+b=30a=b+5\begin{cases} a+b=30\\ a=b+5 \end{cases}
Układ równań liniowych - zadanie z treścią
W kartezjańskim układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji (zobacz rysunek).
Dziedziną funkcji jest zbiór
[−6,5][-6,5][−6,5][-6,5]
(−6,5)(-6,5)(−6,5)(-6,5)
(−3,5](-3,5](−3,5](-3,5]
[−3,5][-3,5][−3,5][-3,5]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Największa wartość funkcji w przedziale jest równa
1111
5555
Funkcja jest malejąca w zbiorze
[−6,−3)[-6,-3)[−6,−3)[-6,-3)
[−3,1][-3,1][−3,1][-3,1]
(1,2](1,2](1,2](1,2]
[2,5][2,5][2,5][2,5]
Funkcja liniowa jest określona wzorem , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych .
Liczba oraz liczba we wzorze funkcji spełniają warunki:
a>0a>0a>0a>0 i b>0b>0b>0b>0
a>0a>0a>0a>0 i b<0b<0b<0b<0
a<0a<0a<0a<0 i b>0b>0b>0b>0
a<0a<0a<0a<0 i b<0b<0b<0b<0
Znaczenie współczynników 𝑎 i 𝑏
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba . Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji , jest równa .
Drugim miejscem zerowym funkcji jest liczba
11111111
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
(−13)\left(-13\right)(−13)\left(-13\right)
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej . Wyraz jest równy
64646464
40404040
48484848
80808080
Obliczanie wyrazu ciągu
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny. Liczba jest równa
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.
Suma ciągu arytmetycznego
W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono kąt o wierzchołku w punkcie . Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią , a drugie przechodzi przez punkt (zobacz rysunek).
Tangens kąta jest równy
110\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}} 101\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}
(−310)\displaystyle \left(- \frac{3}{\sqrt{10}} \right)(−103)\displaystyle \left(- \frac{3}{\sqrt{10}} \right)
(−31)\displaystyle \left(- \frac{3}{1}\right) (−13)\displaystyle \left(- \frac{3}{1}\right)
(−13)\displaystyle \left(- \frac{1}{3} \right)(−31)\displaystyle \left(- \frac{1}{3} \right)
Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
Dla każdego kąta ostrego wyrażenie jest równe
sin2α\sin^2\alphasin2α\sin^2\alpha
sin6α⋅cos2α\sin^6\alpha \cdot \cos^2\alphasin6α⋅cos2α\sin^6\alpha \cdot \cos^2\alpha
sin4α+1\sin^4\alpha+1sin4α+1\sin^4\alpha+1
sin2α⋅(sinα+cosα)⋅(sinα−cosα)\sin^2\alpha \cdot (\sin\alpha+\cos\alpha) \cdot (\sin\alpha-\cos\alpha)sin2α⋅(sinα+cosα)⋅(sinα−cosα)\sin^2\alpha \cdot (\sin\alpha+\cos\alpha) \cdot (\sin\alpha-\cos\alpha)
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W rombie o boku długości kąt rozwarty ma miarę . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
24242424
72727272
36363636
36236\sqrt{2}36236\sqrt{2}
Romb
Punkty leżą na okręgu o środku w punkcie . Kąt ma miarę (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
10∘10^\circ10∘10^\circ
20∘20^\circ20∘20^\circ
35∘35^\circ35∘35^\circ
40∘40^\circ40∘40^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Trójkąty prostokątne i są podobne. Przyprostokątne trójkąta mają długości i . Przeciwprostokątna trójkąta ma długość . Oblicz pole trójkąta .
Podobieństwo figur (stosunki pól i obwodów)
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są proste oraz o równaniach
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Proste oraz
A) są prostopadłe
B) nie są prostopadłe
i przecinają się w punkcie o współrzędnych
1)
2)
3)
A,1
A,2
A,3
B,1
B,2
B,3
Proste prostopadłe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu
Prosta o równaniu jest równoległa do prostej i przechodzi przez punkt , gdy
a=3a=3a=3a=3 i b=4b=4b=4b=4
a=−13\displaystyle a=- \frac{1}{3} a=−31\displaystyle a=- \frac{1}{3} i b=4b=4b=4b=4
a=3a=3a=3a=3 i b=−4b=-4b=−4b=-4
a=−13\displaystyle a=- \frac{1}{3} a=−31\displaystyle a=- \frac{1}{3} i b=6b=6b=6b=6
Proste równoległe
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że .
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
15215\sqrt{2}15215\sqrt{2}
45454545
525\sqrt{2}525\sqrt{2}
10101010
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem i ma długość równą (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich wierzchołków do liczby wszystkich krawędzi jest równy .
Podstawą tego ostrosłupa jest
kwadrat.
pięciokąt foremny.
sześciokąt foremny.
siedmiokąt foremny.
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry (np. , ), jest
535^3535^3
2⋅432 \cdot 4^32⋅432 \cdot 4^3
2⋅342 \cdot 3^42⋅342 \cdot 3^4
353^{5}353^{5}
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.
Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa
5,805{,}805,805{,}80 zł
5,735{,}735,735{,}73 zł
5,855{,}855,855{,}85 zł
6,006{,}006,006{,}00 zł
5,705{,}705,705{,}70 zł
Mediana
Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa
Średnia arytmetyczna / ważona
Ze zbioru ośmiu liczb losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę obsługiwanych klientów -tego dnia opisuje funkcja
gdzie jest liczbą naturalną spełniającą warunki i .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe
Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa .
P
F
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono klientów
Zadania z treścią
Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
.png)
.png)
.png)
.png)
