(nowa formuła)
Jeśli i , to wartość wyrażenia jest równa
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
1111
67\displaystyle \frac{6}{7} 76\displaystyle \frac{6}{7}
276\displaystyle \frac{27}{6} 627\displaystyle \frac{27}{6}
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Dany jest prostokąt o wymiarach . Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o , a każdy z krótszych boków skrócimy o , to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta
zwiększy się o 8%8\%8%8\%.
zwiększy się o 4%4\%4%4\%.
zmniejszy się o 8%8\%8%8\%.
zmniejszy się o 4%4\%4%4\%.
O ile procent więcej / mniej
Liczba jest równa
454045^{40}454045^{40}
45945^{9}45945^{9}
949^4949^4
545^4545^4
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
1663\displaystyle \sqrt{ \frac{16}{63} }6316\displaystyle \sqrt{ \frac{16}{63} }
1637\displaystyle \frac{16}{3\sqrt{7}} 3716\displaystyle \frac{16}{3\sqrt{7}}
3+737\displaystyle \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} 373+7\displaystyle \frac{3+\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Wartość wyrażenia jest równa
−3-3−3-3
−214\displaystyle -2 \frac{1}{4} −241\displaystyle -2 \frac{1}{4}
−2-2−2-2
0000
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Wartość wyrażenia jest większa od wartości wyrażenia o
50505050
10101010
5555
25252525
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań
Wskaż ten rysunek.
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest
−1-1−1-1
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Rozwiązaniem równania jest
−9-9−9-9
2222
7777
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wówczas wartość funkcji jest równa
2−422-4\sqrt{2}2−422-4\sqrt{2}
1−221-2\sqrt{2}1−221-2\sqrt{2}
1+221+2\sqrt{2}1+221+2\sqrt{2}
2+422+4\sqrt{2 }2+422+4\sqrt{2 }
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
Parabola o wierzchołku i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem
y=2⋅(x+3)2+5y=2 \cdot (x+3)^2+5y=2⋅(x+3)2+5y=2 \cdot (x+3)^2+5
y=−2⋅(x−3)2+5y=-2 \cdot \left(x-3\right)^2+5y=−2⋅(x−3)2+5y=-2 \cdot \left(x-3\right)^2+5
y=−2⋅(x+3)2+5y=-2 \cdot (x+3)^2+5y=−2⋅(x+3)2+5y=-2 \cdot (x+3)^2+5
y=−2⋅(x−3)2−5y=-2 \cdot \left(x-3\right)^2-5y=−2⋅(x−3)2−5y=-2 \cdot \left(x-3\right)^2-5
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Wykres funkcji liniowej przecina oś w punkcie o współrzędnych
(0,−3)\left(0,-3\right)(0,−3)\left(0,-3\right)
(−3,0)\left(-3,0\right)(−3,0)\left(-3,0\right)
(0,2)\left(0,2\right)(0,2)\left(0,2\right)
(0,3)\left(0,3\right)(0,3)\left(0,3\right)
Znaczenie współczynników 𝑎 i 𝑏
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ma współrzędne . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji ma współrzędne
(4,2)\left(4,2\right)(4,2)\left(4,2\right)
(2,0)\left(2,0\right)(2,0)\left(2,0\right)
(2,4)\left(2,4\right)(2,4)\left(2,4\right)
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba
77777777
84848484
91919191
98989898
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg liczbowy określony jest wzorem , dla . Piąty wyraz tego ciągu jest równy
3133\displaystyle \frac{31}{33} 3331\displaystyle \frac{31}{33}
911\displaystyle \frac{9}{11} 119\displaystyle \frac{9}{11}
Obliczanie wyrazu ciągu
Sinus kąta ostrego jest równy . Wówczas
cosα=14\displaystyle \cos\alpha= \frac{1}{4} cosα=41\displaystyle \cos\alpha= \frac{1}{4}
cosα=74\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{7}}4{} cosα=47\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{7}}4{}
cosα=716\displaystyle \cos\alpha= \frac{7}{16} cosα=167\displaystyle \cos\alpha= \frac{7}{16}
cosα=1316\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{13}}{16} cosα=1613\displaystyle \cos\alpha= \frac{\sqrt{13}}{16}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych i cosinus większego z kątów ostrych jest równy
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
25\displaystyle \frac{2}{5} 52\displaystyle \frac{2}{5}
229\displaystyle \frac{2}{\sqrt{29}} 292\displaystyle \frac{2}{\sqrt{29}}
529\displaystyle \frac{5}{\sqrt{29}} 295\displaystyle \frac{5}{\sqrt{29}}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Pole rombu o boku i kącie rozwartym jest równe
18218\sqrt{2}18218\sqrt{2}
18181818
36236\sqrt{2}36236\sqrt{2}
36363636
Romb
W okręgu o środku dany jest kąt o mierze , zaznaczony na rysunku.
Miara kąta oznaczonego na rysunku literą jest równa
30∘30^\circ 30∘30^\circ
40∘40^\circ 40∘40^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty oraz , jest równy
a=3a=3a=3a=3
a=−1a=-1a=−1a=-1
a=56\displaystyle a= \frac{5}{6} a=65\displaystyle a= \frac{5}{6}
a=13\displaystyle a= \frac{1}{3} a=31\displaystyle a= \frac{1}{3}
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Punkt jest środkiem odcinka , gdzie i . Wtedy
b=−13b=-13b=−13b=-13
b=−2b=-2b=−2b=-2
b=−1b=-1b=−1b=-1
b=6b=6b=6b=6
Długość odcinka i środek odcinka
Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków , gdzie . Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa
V=13a2bπ\displaystyle V= \frac{1}{3}a^2b\pi V=31a2bπ\displaystyle V= \frac{1}{3}a^2b\pi
V=a2bπV=a^2b\piV=a2bπV=a^2b\pi
V=13b2aπ\displaystyle V= \frac{1}{3}b^2a\pi V=31b2aπ\displaystyle V= \frac{1}{3}b^2a\pi
V=a2π+πacV=a^2\pi+\pi acV=a2π+πacV=a^2\pi+\pi ac
Stożek
Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy i wysokość jest równa , ma długość
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
20\sqrt{20}20\sqrt{20}
52\sqrt{52}52\sqrt{52}
Walec
W grupie jest kobiet i mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe
115\displaystyle \frac{1}{15} 151\displaystyle \frac{1}{15}
133\displaystyle \frac{ 1}{33} 331\displaystyle \frac{ 1}{33}
1533\displaystyle \frac{15}{33} 3315\displaystyle \frac{15}{33}
1518\displaystyle \frac{15}{18} 1815\displaystyle \frac{15}{18}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od , utworzonych wyłącznie z cyfr , przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
3333
27272727
9999
6666
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rozwiąż równanie , gdzie i .
Równania wymierne
Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do , a w drugim – kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od do . Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Kąt jest ostry i spełnia równość . Oblicz wartość wyrażenia .
Udowodnij, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność .
Dowodzenie nierówności
W prostokącie punkt jest środkiem boku , a punkt jest środkiem boku . Wykaż, że pole trójkąta jest równe sumie pól trójkątów oraz .
Dowodzenie w planimetrii
Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach , , .
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku , a pole jest równe (zobacz rysunek). Punkt jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość ostrosłupa.
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem . Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział . Największa wartość funkcji jest równa . Oblicz współczynniki i funkcji .
