(nowa formuła)
Dla dowolnych liczb wartość wyrażenia jest równa
x⋅yx \cdot yx⋅yx \cdot y
1x⋅y\displaystyle \frac{1}{x \cdot y} x⋅y1\displaystyle \frac{1}{x \cdot y}
−1-1−1-1
1111
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Liczba jest równa
−32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2} −23\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}
−12\displaystyle -\frac{1}{2} −21\displaystyle -\frac{1}{2}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
Funkcje trygonometryczne nietypowych kątów
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji , który jest złożony z dwóch półprostych i oraz dwóch odcinków i , gdzie , , , , .
Wzór funkcji to
f(x)=∣x+1∣+∣x−1∣f(x)=|x+1|+|x-1|f(x)=∣x+1∣+∣x−1∣f(x)=|x+1|+|x-1|
f(x)=∣∣x−1∣−2∣f(x)=\left||x-1|-2\right|f(x)=∣∣x−1∣−2∣f(x)=\left||x-1|-2\right|
f(x)=∣∣x−1∣+2∣f(x)=\left||x-1|+2\right|f(x)=∣∣x−1∣+2∣f(x)=\left||x-1|+2\right|
f(x)=∣x−1∣+2f(x)=|x-1|+2f(x)=∣x−1∣+2f(x)=|x-1|+2
Przekształcenia funkcji - przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Zdarzenia losowe i zawarte w są takie, że prawdopodobieństwo zdarzenia , przeciwnego do zdarzenia , jest równe . Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe . Wynika stąd, że
P(A∩B)=120\displaystyle P(A\cap B)= \frac{1}{20} P(A∩B)=201\displaystyle P(A\cap B)= \frac{1}{20}
P(A∩B)=415\displaystyle P(A\cap B)= \frac{4}{15} P(A∩B)=154\displaystyle P(A\cap B)= \frac{4}{15}
P(A∩B)=320\displaystyle P(A\cap B)= \frac{3}{20} P(A∩B)=203\displaystyle P(A\cap B)= \frac{3}{20}
P(A∩B)=45\displaystyle P(A\cap B)= \frac{4}{5} P(A∩B)=54\displaystyle P(A\cap B)= \frac{4}{5}
Prawdopodobieństwo warunkowe
Oblicz granicę
Granica ciągu
Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr , bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.
Kombinatoryka - suma liczb spełniających dany warunek
Punkt leży na paraboli o równaniu . Prosta o równaniu kierunkowym jest styczna do tej paraboli w punkcie . Oblicz współczynnik .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i , takich że , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność .
Dowodzenie nierówności
Dany jest trójkąt równoramienny , w którym . Na ramieniu tego trójkąta wybrano punkt , a na ramieniu wybrano punkt , w taki sposób, że . Przez punkty i poprowadzono proste prostopadłe do podstawy tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty i . Udowodnij, że .
Dowodzenie w planimetrii
Punkt leży na boku trójkąta oraz , , i . Oblicz obwód trójkąta .
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Dane są okręgi o równaniach i . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
Dwa okręgi - wzajemne położenie i punkty wspólne
Trzywyrazowy ciąg o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Wielomian określony wzorem jest podzielny przez dwumian oraz przy dzieleniu przez dwumian daje resztę . Oblicz i dla wyznaczonej wartości rozwiąż nierówność .
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Rozwiąż równanie
Równanie trygonometryczne: suma/różnica sinusów/cosinusów
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Optymalizacja w stereometrii
