Rozwiązaniem równania jest:
x=1x=1x=1x=1
x=2x=2x=2x=2
x=3x=3x=3x=3
x=4x=4x=4x=4
Równanie liniowe
Suma liczby i tej liczby jest równa . Równaniem opisującym tę zależność jest
0,15⋅x=2300{,}15 \cdot x=2300,15⋅x=2300{,}15 \cdot x=230
0,85⋅x=2300{,}85 \cdot x=2300,85⋅x=2300{,}85 \cdot x=230
x+0,15⋅x=230x+0{,}15 \cdot x=230x+0,15⋅x=230x+0{,}15 \cdot x=230
x−0,15⋅x=230x-0{,}15 \cdot x=230x−0,15⋅x=230x-0{,}15 \cdot x=230
Równanie z procentami
Rozwiązaniem układu równań jest
{x=2y=1\displaystyle \begin{cases} x=2\\ y=1 \end{cases}{x=2y=1\displaystyle \begin{cases} x=2\\ y=1 \end{cases}
{x=2y=−1\displaystyle \begin{cases} x=2\\ y=-1 \end{cases}{x=2y=−1\displaystyle \begin{cases} x=2\\ y=-1 \end{cases}
{x=1y=2\displaystyle \begin{cases} x=1 \\y=2 \end{cases}{x=1y=2\displaystyle \begin{cases} x=1 \\y=2 \end{cases}
{x=1y=−2\displaystyle \begin{cases} x=1\\ y=-2 \end{cases}{x=1y=−2\displaystyle \begin{cases} x=1\\ y=-2 \end{cases}
Układy równań liniowych
Funkcja liniowa jest rosnąca dla
m>2m>2m>2m>2
m>0m>0m>0m>0
m<13m<13m<13m<13
m<11m<11m<11m<11
Monotoniczność funkcji liniowej
Do wykresu funkcji liniowej należą punkty i . Funkcja ma wzór
f(x)=x+3f(x)=x+3f(x)=x+3f(x)=x+3
f(x)=x−3f(x)=x-3f(x)=x−3f(x)=x-3
f(x)=−x−3f(x)=-x-3f(x)=−x−3f(x)=-x-3
f(x)=−x+3f(x)=-x+3f(x)=−x+3f(x)=-x+3
Prosta przechodząca przez dwa punkty
Punkt leży na prostej prostopadłej do prostej o równaniu . Prosta ma równanie
y=x+5y=x+5y=x+5y=x+5
y=−x+5y=-x+5y=−x+5y=-x+5
y=x−5y=x-5y=x−5y=x-5
y=−x−5y=-x-5y=−x−5y=-x-5
Proste prostopadłe
Dla pewnych liczb i zachodzą równości: i . Dla tych liczb i wartość wyrażenia jest równa
25252525
16161616
10101010
2222
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Liczba jest równa
8888
3333
−2-2−2-2
Wartość bezwzględna
0000
1111
4444
Definicja logarytmu
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest
[−4,+∞)\left[-4,+\infty\right)[−4,+∞)\left[-4,+\infty\right)
[−2,+∞)\left[-2,+\infty\right)[−2,+∞)\left[-2,+\infty\right)
[2,+∞)\left[2,+\infty\right)[2,+∞)\left[2,+\infty\right)
[4,+∞)\left[4,+\infty\right)[4,+∞)\left[4,+\infty\right)
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Dane są wielomiany i . Stopień wielomianu jest równy
Stopień wielomianu
W ciągu geometrycznym mamy i . Wtedy wyraz jest równy
20202020
75757575
45454545
Definicja
Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych o sumie cyfr równej ?
11 11
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Dane są punkty i . Odcinek ma długość
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
525\sqrt{2}525\sqrt{2}
7777
Długość odcinka i środek odcinka
Kąt jest ostry oraz . Wtedy miara kąta jest równa:
6∘6^\circ 6∘6^\circ
33∘33^\circ 33∘33^\circ
47∘47^\circ 47∘47^\circ
43∘43^\circ 43∘43^\circ
Wzory redukcyjne
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg określony wzorem dla ?
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Krawędź sześcianu ma długość . Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:
93\sqrt[3]{9}39\sqrt[3]{9}
929\sqrt{2}929\sqrt{2}
939\sqrt{3}939\sqrt{3}
9+929+9\sqrt{2}9+929+9\sqrt{2}
Sześcian
Średnia arytmetyczna sześciu liczb: jest równa . Wtedy liczba jest równa
5555
6666
Średnia arytmetyczna / ważona
Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez jest równe
190\displaystyle \frac{1}{90} 901\displaystyle \frac{1}{90}
290\displaystyle \frac{2}{90} 902\displaystyle \frac{2}{90}
390\displaystyle \frac{3}{90} 903\displaystyle \frac{3}{90}
1090\displaystyle \frac{10}{90} 9010\displaystyle \frac{10}{90}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości . Objętość tego walca jest równa
108π108\pi108π108\pi
54π54\pi54π54\pi
36π36\pi36π36\pi
27π27\pi27π27\pi
Walec
Dany jest romb o boku długości i kącie ostrym . Pole tego rombu jest równe
16316\sqrt{3}16316\sqrt{3}
838\sqrt{3}838\sqrt{3}
Romb
Kula ma objętość . Promień tej kuli jest równy
9999
12121212
Kula
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa . Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
300300300300
3003300\sqrt{3}3003300\sqrt{3}
300+503300+50\sqrt{3}300+503300+50\sqrt{3}
300+253300+25\sqrt{3}300+253300+25\sqrt{3}
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od do , czyli , jest podzielny przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Kąt jest ostry i . Oblicz .
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Liczby są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz .
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Na bokach trójkąta równobocznego (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty , i . Udowodnij, że trójkąt jest równoboczny.
Dowodzenie w planimetrii
Punkty i leżą na okręgu o środku i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy . Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Dane są dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się kul ponumerowanych liczbami od do . Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy od numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa . Boisko w drugiej szkole ma długość o większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.
Układ równań - zadanie z treścią
Ile jest liczb pięciocyfrowych, spełniających jednocześnie następujące cztery warunki:
cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste,
cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek,
cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności,
w zapisie tej liczby nie występuje cyfra 9.
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt . Krawędź boczna jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne i mają następujące długości: , , . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
