(nowa formuła)
Liczba jest równa
423642^{36}423642^{36}
42742^742742^7
6666
1111
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Cenę pewnego towaru podwyższono o , a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o . Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić równoważną im jedną podwyżką
o 50%50\%50%50\%
o 56%56\%56%56\%
o 60%60\%60%60\%
o 66%66\%66%66\%
Obniżki i podwyżki (podwójna zmiana)
36\sqrt[6]{3}63\sqrt[6]{3}
34\sqrt[4]{3}43\sqrt[4]{3}
33\sqrt[3]{3}33\sqrt[3]{3}
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
Różnica jest równa
2 000 0002\ 000\ 0002 000 0002\ 000\ 000
200 000200\ 000200 000200\ 000
20 00020\ 00020 00020\ 000
44 44
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Najmniejsza wartość wyrażenia dla jest równa
2222
−24-24−24-24
0000
−12-12−12-12
Wartość wyrażenia jest równa
−1-1−1-1
−2-2−2-2
log3511\displaystyle \log_3 \frac{5}{11} log3115\displaystyle \log_3 \frac{5}{11}
log33111\displaystyle \log_3 \frac{31}{11} log31131\displaystyle \log_3 \frac{31}{11}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania , wybrano największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
12121212
10101010
4444
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Rozwiązaniem równania , gdzie , jest liczba należąca do przedziału
(−∞,−2)\left(-\infty,-2\right)(−∞,−2)\left(-\infty,-2\right)
[−2,−1)\left[-2,-1\right)[−2,−1)\left[-2,-1\right)
[−1,0)\left[-1,0\right)[−1,0)\left[-1,0\right)
(0,+∞)\left(0,+\infty\right)(0,+∞)\left(0,+\infty\right)
Równania wymierne
Funkcja określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wtedy liczba jest równa
−85\displaystyle - \frac{8}{5} −58\displaystyle - \frac{8}{5}
−423\displaystyle - \frac{4\sqrt{2}}{3} −342\displaystyle - \frac{4\sqrt{2}}{3}
−425\displaystyle - \frac{4\sqrt{2}}5{} −542\displaystyle - \frac{4\sqrt{2}}5{}
−43\displaystyle - \frac{4}{3} −34\displaystyle - \frac{4}{3}
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
Dana jest funkcja kwadratowa . Wskaż maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca.
(−∞,3]\left(-\infty,3\right](−∞,3]\left(-\infty,3\right]
(−∞,5]\left(-\infty,5\right](−∞,5]\left(-\infty,5\right]
(−∞,11]\left(-\infty,11\right](−∞,11]\left(-\infty,11\right]
[6,+∞)\left[6,+\infty\right)[6,+∞)\left[6,+\infty\right)
Monotoniczność funkcji kwadratowej
Ciąg jest określony wzorem dla . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
−54-54−54-54
−126-126−126-126
−630-630−630-630
−270-270−270-270
Suma ciągu arytmetycznego
Dany jest ciąg geometryczny , w którym i . Iloraz tego ciągu jest równy
q=12\displaystyle q= \frac{1}{2} q=21\displaystyle q= \frac{1}{2}
q=16\displaystyle q= \frac{1}{6} q=61\displaystyle q= \frac{1}{6}
q=14\displaystyle q= \frac{1}{4} q=41\displaystyle q= \frac{1}{4}
q=18\displaystyle q= \frac{1}{8} q=81\displaystyle q= \frac{1}{8}
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Dany jest trapez , w którym przekątna jest prostopadła do ramienia , oraz (zobacz rysunek).
Stąd wynika, że
β=100∘\beta=100^\circ β=100∘\beta=100^\circ
β=120∘\beta=120^\circ β=120∘\beta=120^\circ
β=110∘\beta=110^\circ β=110∘\beta=110^\circ
β=130∘\beta=130^\circ β=130∘\beta=130^\circ
Trapez
Punkty i leżą na okręgu o środku (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów i są odpowiednio równe
α=36∘\alpha=36^\circ α=36∘\alpha=36^\circ , β=72∘\beta=72^\circ β=72∘\beta=72^\circ
α=54∘\alpha=54^\circ α=54∘\alpha=54^\circ , β=72∘\beta=72^\circ β=72∘\beta=72^\circ
α=36∘\alpha=36^\circ α=36∘\alpha=36^\circ , β=108∘\beta=108^\circ β=108∘\beta=108^\circ
α=72∘\alpha=72^\circ α=72∘\alpha=72^\circ , β=72∘\beta=72^\circ β=72∘\beta=72^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Słoń waży ton, a waga mrówki jest równa grama. Ile razy słoń jest cięższy od mrówki?
10610^{6}10610^{6}
10710^{7}10710^{7}
10810^{8}10810^{8}
Każde z ramion trójkąta równoramiennego ma długość . Kąt zawarty między ramionami tego trójkąta ma miarę . Pole tego trójkąta jest równe
100100100100
200200200200
1003100\sqrt{3}1003100\sqrt{3}
1002100\sqrt{2}1002100\sqrt{2}
Trójkąt równoramienny
Prosta określona wzorem jest symetralną odcinka , gdzie i . Wynika stąd, że
a=−12\displaystyle a=- \frac{1}{2} a=−21\displaystyle a=- \frac{1}{2}
a=12\displaystyle a= \frac{1}{2} a=21\displaystyle a= \frac{1}{2}
a=−2a=-2a=−2a=-2
a=2a=2a=2a=2
Symetralna odcinka
Układ równań nie ma rozwiązań dla
a=−1a=-1a=−1a=-1 i b=−3b=-3b=−3b=-3
a=1a=1a=1a=1 i b=3b=3b=3b=3
a=1a=1a=1a=1 i b=−3b=-3b=−3b=-3
a=−1a=-1a=−1a=-1 i b=3b=3b=3b=3
Układy równań: liniowe z parametrem
Do pewnej liczby dodano . Otrzymaną sumę podzielono przez . W wyniku tego działania otrzymano liczbę dwa razy większą od liczby . Zatem
a=27a=27a=27a=27
a=18a=18a=18a=18
a=24a=24a=24a=24
a=36a=36a=36a=36
Równanie liniowe
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta jest równa
45∘45^\circ 45∘45^\circ
30∘30^\circ 30∘30^\circ
75∘75^\circ 75∘75^\circ
90∘90^\circ 90∘90^\circ
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie jednego orła w tych trzech rzutach. Wtedy
0≤p<0,250\le p<0{,}250≤p<0,250\le p<0{,}25
0,25≤p≤0,40{,}25\le p\le 0{,}40,25≤p≤0,40{,}25\le p\le 0{,}4
0,4<p≤0,50{,}4<p\le 0{,}50,4<p≤0,50{,}4<p\le 0{,}5
p>0,5p>0{,}5p>0,5p>0{,}5
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Średnia arytmetyczna czterech liczb: , , i jest równa . Wynika stąd, że
x=9x=9x=9x=9
x=10x=10x=10x=10
x=17x=17x=17x=17
x=18x=18x=18x=18
Średnia arytmetyczna / ważona
Na rysunku przedstawione są dwie proste równoległe i o równaniach oraz . Początek układu współrzędnych leży między tymi prostymi.
Zatem
a⋅m>0a \cdot m>0a⋅m>0a \cdot m>0 i b⋅n>0b \cdot n>0b⋅n>0b \cdot n>0
a⋅m>0a \cdot m>0a⋅m>0a \cdot m>0 i b⋅n<0b \cdot n<0b⋅n<0b \cdot n<0
a⋅m<0a \cdot m<0a⋅m<0a \cdot m<0 i b⋅n>0b \cdot n>0b⋅n>0b \cdot n>0
a⋅m<0a \cdot m<0a⋅m<0a \cdot m<0 i b⋅n<0b \cdot n<0b⋅n<0b \cdot n<0
Proste równoległe
Dane są dwie sumy algebraiczne oraz . Iloczyn tych sum jest równy
−9x5+4x-9x^5+4x−9x5+4x-9x^5+4x
−9x6+6x3−6x2+4x-9x^6+6x^3-6x^2+4x−9x6+6x3−6x2+4x-9x^6+6x^3-6x^2+4x
−9x5+6x3−6x2+4x-9x^5+6x^3-6x^2+4x−9x5+6x3−6x2+4x-9x^5+6x^3-6x^2+4x
−9x6+4x-9x^6+4x−9x6+4x-9x^6+4x
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Punkty i są środkami przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego . Punkty i leżą na przeciwprostokątnej tak, że odcinki i są do niej prostopadłe (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe , a pole trójkąta jest równe .
Zatem pole trójkąta jest równe
16161616
18181818
20202020
Podobieństwo trójkątów
Rozwiąż równanie , gdzie i .
Dane są proste o równaniach oraz , które przecinają się w punkcie leżącym na osi układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi .
Trójkąt w układzie współrzędnych
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Dany jest trapez prostokątny o podstawach i oraz wysokości . Dwusieczna kąta przecina ramię w punkcie oraz dwusieczną kąta w punkcie (zobacz rysunek).
Wykaż, że w czworokącie sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Dowodzenie w planimetrii
W trójkącie dane są długości boków i oraz , gdzie . Na bokach i tego trójkąta obrano punkty odpowiednio i takie, że i (zobacz rysunek).
Oblicz pole
trójkąta .
czworokąta .
Trójkąt
Dany jest ciąg arytmetyczny określony dla każdej liczby naturalnej , w którym oraz . Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu .
Dany jest stożek o objętości , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy . Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.
Stożek
Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była o większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była o mniejsza od zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od wtorkowego o minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?
Układy równań - prędkość
