Formuła 2015
Liczba jest równa
(−16)\left(-16\right)(−16)\left(-16\right)
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
2222
4444
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
log33118\displaystyle \log_{3}{ \frac{31}{18} }log31831\displaystyle \log_{3}{ \frac{31}{18} }
log3511\displaystyle \log_{3}{ \frac{5}{11} }log3115\displaystyle \log_{3}{ \frac{5}{11} }
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
22222222
42424242
42+4542+4\sqrt{5}42+4542+4\sqrt{5}
42+8542+8\sqrt{5}42+8542+8\sqrt{5}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Dane są dwa prostokąty: oraz .
Długości boków prostokąta są równe oraz .
Pole prostokąta stanowi
60%60\%60%60\% pola prostokąta P2\mathcal{P_2}P2\mathcal{P_2}
62,5%62{,}5\%62,5%62{,}5\% pola prostokąta P2\mathcal{P_2}P2\mathcal{P_2}
160%160\%160%160\% pola prostokąta P2\mathcal{P_2}P2\mathcal{P_2}
162,5%162{,}5\%162,5%162{,}5\% pola prostokąta P2\mathcal{P_2}P2\mathcal{P_2}
Prostokąt
Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
K0⋅(1,06)3K_0 \cdot \left(1{,}06\right)^{3 }K0⋅(1,06)3K_0 \cdot \left(1{,}06\right)^{3 }
K0⋅(1,02)3K_0 \cdot \left(1{,}02\right)^{3 }K0⋅(1,02)3K_0 \cdot \left(1{,}02\right)^{3 }
K0⋅(1,03)6K_0 \cdot \left(1{,}03\right)^{6 }K0⋅(1,03)6K_0 \cdot \left(1{,}03\right)^{6 }
K0⋅1,18K_0 \cdot 1{,}18K0⋅1,18K_0 \cdot 1{,}18
Lokaty i kredyty (procent składany)
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności
jest równa
3333
5555
6666
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Układ równań
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dokładnie dwa rozwiązania.
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układy równań liniowych
Jednym z rozwiązań równania
jest liczba
(−8)\left(-8\right)(−8)\left(-8\right)
Równania wymierne
Funkcja jest określona za pomocą tabeli
Wskaż zdanie prawdziwe.
Funkcja 𝑓𝑓f𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
W układzie współrzędnych (𝑥,𝑦)(𝑥, 𝑦)(x,y)(𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓𝑓f𝑓 jest symetryczny względem osi OYOYOYOY.
Największa wartość funkcji 𝑓𝑓f𝑓 jest równa 3333.
Najmniejsza wartość funkcji 𝑓𝑓f𝑓 jest równa (−2)(−2)(−2)(−2).
Odczytywanie własności z tabeli wartości
Liczba jest miejscem zerowym funkcji liniowej .
0000
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Na rysunku, w układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji .
Największa wartość funkcji jest równa
66 66
7777
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Funkcja jest malejąca w zbiorze
[−1,1][-1,1][−1,1][-1,1]
[0,4][0,4][0,4][0,4]
[1,7][1,7][1,7][1,7]
[4,7][4,7][4,7][4,7]
Na kolejnym rysunku, w układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji , powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostki w lewo.
Funkcje i są powiązane zależnością
g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)
g(x)=f(x−4)g(x)=f(x-4)g(x)=f(x−4)g(x)=f(x-4)
g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4
g(x)=f(x)−4g(x)=f(x)-4g(x)=f(x)−4g(x)=f(x)-4
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .
Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych , fragment wykresu funkcji .
Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Rozpoznawanie (i rysowanie) wykresu funkcji kwadratowej na podstawie wzoru
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
50505050
100100100100
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
W ciągu arytmetycznym , określonym dla każdej liczby naturalnej , dane są wyrazy: oraz .
Wyraz jest równy
(−47)\left(-47\right)(−47)\left(-47\right)
52525252
61616161
67676767
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny. Liczby oraz spełniają warunki
x>0x>0x>0x>0 i y>0y>0y>0y>0
x>0x>0x>0x>0 i y<0y<0y<0y<0
x<0x<0x<0x<0 i y>0y>0y>0y>0
x<0x<0x<0x<0 i y<0y<0y<0y<0
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: charakteryzacja / wzór ogólny / suma
2−sin227∘2-\sin^227^\circ2−sin227∘2-\sin^227^\circ
sin227∘\sin^227^\circsin227∘\sin^227^\circ
2+sin227∘2+\sin^227^\circ2+sin227∘2+\sin^227^\circ
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości: oraz . Wysokość tego trapezu ma długość (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
15∘15^\circ15∘15^\circ
30∘30^\circ30∘30^\circ
45∘45^\circ45∘45^\circ
60∘60^\circ60∘60^\circ
Trapez prostokątny
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Długość łuku , na którym jest oparty kąt wpisany , jest równa długości okręgu (zobacz rysunek).
18∘18^\circ18∘18^\circ
36∘36^\circ36∘36^\circ
72∘72^\circ72∘72^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Proste oraz są określone równaniami
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
(−53)\displaystyle \left(- \frac{5}{3} \right)(−35)\displaystyle \left(- \frac{5}{3} \right)
(−32)\displaystyle \left(- \frac{3}{2} \right)(−23)\displaystyle \left(- \frac{3}{2} \right)
Proste równoległe
Dana jest prosta o równaniu
Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu
y=3x+1y=3x+1y=3x+1y=3x+1
y=3x−1y=3x-1y=3x−1y=3x-1
y=−3x+1y=-3x+1y=−3x+1y=-3x+1
y=−3x−1y=-3x-1y=−3x−1y=-3x-1
Obrazy prostych, punktów i okręgów w symetrii osiowej i środkowej
Przekątna ściany sześcianu ma długość . Objętość tego sześcianu jest równa
8888
24242424
1669\displaystyle \frac{16\sqrt{6}}{9} 9166\displaystyle \frac{16\sqrt{6}}{9}
16216\sqrt{2}16216\sqrt{2}
Sześcian
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa
828\sqrt{2}828\sqrt{2}
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Ostrosłup prawidłowy ma ściany boczne.
Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
2025202520252025
2026202620262026
4048404840484048
4052405240524052
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie .
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa .
Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe .
Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka do krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
212\displaystyle \frac{21}{2} 221\displaystyle \frac{21}{2}
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
3,123{,}123,123{,}12
3,53{,}53,53{,}5
4,1(6)4{,}1(6)4,1(6)4{,}1(6)
Średnia arytmetyczna / ważona
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry (np.: , , ), jest
16161616
27272727
54545454
81818181
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest . Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe .
Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa
9999
12121212
15151515
30303030
Prawdopodobieństwo klasyczne
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej , ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne: oraz .
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Bok kwadratu ma długość równą . Punkt jest środkiem boku tego kwadratu. Na odcinku leży punkt taki, że odcinek jest prostopadły do odcinka .
Oblicz długość odcinka .
Kwadrat
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Oblicz .
Charakteryzacja ciągu arytmetycznego
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Symetralna odcinka przecina oś układu współrzędnych w punkcie .
Oblicz współrzędne punktu oraz długość odcinka .
Symetralna odcinka
