(stara formuła)
Liczba jest równa
2222
4444
2\sqrt{2}2\sqrt{2}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
Definicja logarytmu
Liczba naturalna w zapisie dziesiętnym ma
14141414 cyfr
15151515 cyfr
16161616 cyfr
30303030 cyfr
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa . Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
1%1\%1%1\%
25%25\%25%25\%
33%33\%33%33\%
75%75\%75%75\%
O ile procent więcej / mniej
Równość jest prawdziwa dla
a=1120\displaystyle a =\frac{11}{20} a=2011\displaystyle a =\frac{11}{20}
a=89\displaystyle a =\frac{8}{9} a=98\displaystyle a =\frac{8}{9}
a=98\displaystyle a =\frac{9}{8} a=89\displaystyle a =\frac{9}{8}
a=2011\displaystyle a =\frac{20}{11} a=1120\displaystyle a =\frac{20}{11}
Równania wymierne
Para liczb i jest rozwiązaniem układu równań
dla
a=−1a=-1a=−1a=-1
a=1a=1a=1a=1
a=−2a=-2a=−2a=-2
a=2a=2a=2a=2
Układy równań: liniowe z parametrem
Równanie
ma trzy różne rozwiązania: x=1,x=3,x=−2x=1,x=3,x=-2x=1,x=3,x=−2x=1,x=3,x=-2.
ma trzy różne rozwiązania: x=−1,x=−3,x=2x=-1,x=-3,x=2x=−1,x=−3,x=2x=-1,x=-3,x=2.
ma dwa różne rozwiązania: x=1,x=−2x=1,x=-2x=1,x=−2x=1,x=-2.
ma dwa różne rozwiązania: x=−1,x=2x=-1,x=2x=−1,x=2x=-1,x=2.
Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem jest liczba
3−633-6\sqrt{3}3−633-6\sqrt{3}
1−631-6\sqrt{3}1−631-6\sqrt{3}
23−12\sqrt{3}-123−12\sqrt{3}-1
23−13\displaystyle 2\sqrt{3}- \frac{1}{3} 23−31\displaystyle 2\sqrt{3}- \frac{1}{3}
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt . Liczby i to miejsca zerowe funkcji .
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−∞,0](-\infty,0](−∞,0](-\infty,0]
[0,4][0,4][0,4][0,4]
[−4,+∞)[-4,+\infty)[−4,+∞)[-4,+\infty)
[4,+∞)[4,+\infty)[4,+∞)[4,+\infty)
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Największa wartość funkcji w przedziale jest równa
−3-3−3-3
−4-4−4-4
0000
Wartość najmniejsza / największa w przedziale domkniętym
Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
y=−4y=-4y=−4y=-4
x=−4x=-4x=−4x=-4
y=2y=2y=2y=2
x=2x=2x=2x=2
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
W ciągu arytmetycznym , określonym dla , dane są dwa wyrazy: i . Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
−168-168−168-168
−189-189−189-189
−21-21−21-21
−42-42−42-42
Suma ciągu arytmetycznego
Dany jest ciąg geometryczny , określony dla . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek . Iloraz tego ciągu jest równy
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} 31\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
3333
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Sinus kąta ostrego jest równy . Wtedy
cosα=54\displaystyle \cos\alpha= \frac{5}{4} cosα=45\displaystyle \cos\alpha= \frac{5}{4}
cosα=15\displaystyle \cos\alpha= \frac{1}{5} cosα=51\displaystyle \cos\alpha= \frac{1}{5}
cosα=925\displaystyle \cos\alpha= \frac{9}{25} cosα=259\displaystyle \cos\alpha= \frac{9}{25}
cosα=35\displaystyle \cos\alpha= \frac{3}{5} cosα=53\displaystyle \cos\alpha= \frac{3}{5}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Punkty i leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym (zobacz rysunek). Odcinek jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany ma miarę .
Zatem
α=30∘\alpha=30^\circα=30∘\alpha=30^\circ
α<30∘\alpha<30^\circα<30∘\alpha<30^\circ
α>45∘\alpha>45^\circα>45∘\alpha>45^\circ
α=45∘\alpha=45^\circα=45∘\alpha=45^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie i promieniu oraz okrąg o środku w punkcie i promieniu . Odcinek ma długość . Prosta jest styczna do tych okręgów w punktach i . Ponadto prosta przecina odcinek w punkcie (zobacz rysunek).
Wtedy
∣OK∣=6|OK|=6∣OK∣=6|OK|=6
∣OK∣=8|OK|=8∣OK∣=8|OK|=8
∣OK∣=10|OK|=10∣OK∣=10|OK|=10
∣OK∣=12|OK|=12∣OK∣=12|OK|=12
Podobieństwo trójkątów
Dany jest romb o boku długości i kącie rozwartym . Pole tego rombu jest równe
8888
12121212
838\sqrt{3}838\sqrt{3}
16161616
Romb
Proste o równaniach oraz są równoległe, gdy
m=−1m=-1m=−1m=-1
m=0m=0m=0m=0
m=1m=1m=1m=1
m=5m=5m=5m=5
Proste równoległe
Prosta o równaniu jest prostopadła do prostej o równaniu i przechodzi przez punkt , gdy
a=−4a=-4a=−4a=-4 i b=−2b=-2b=−2b=-2
a=14\displaystyle a= \frac{1}{4} a=41\displaystyle a= \frac{1}{4} i b=−18\displaystyle b= -\frac{1}{8} b=−81\displaystyle b= -\frac{1}{8}
a=−4a=-4a=−4a=-4 i b=2b=2b=2b=2
a=14\displaystyle a= \frac{1}{4} a=41\displaystyle a= \frac{1}{4} i b=12\displaystyle b= \frac{1}{2} b=21\displaystyle b= \frac{1}{2}
Proste prostopadłe
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej . Na wykresie tej funkcji leżą punkty i .
Obrazem prostej w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji określonej wzorem
g(x)=x+4g(x)=x+4g(x)=x+4g(x)=x+4
g(x)=x−4g(x)=x-4g(x)=x−4g(x)=x-4
g(x)=−x−4g(x)=-x-4g(x)=−x−4g(x)=-x-4
g(x)=−x+4g(x)=-x+4g(x)=−x+4g(x)=-x+4
Symetrie
Dane są punkty o współrzędnych oraz . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku jest równa
6666
626\sqrt{2}626\sqrt{2}
262\sqrt{6}262\sqrt{6}
Kwadrat w układzie współrzędnych
Promień podstawy walca jest równy połowie wysokości tego walca. Sinus kąta (zobacz rysunek) jest równy
52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}2{} 25\displaystyle \frac{\sqrt{5}}2{}
255\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5} 525\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}
12\displaystyle \frac{1}{2 } 21\displaystyle \frac{1}{2 }
1111
Walec
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.
Miara kąta jest równa
90∘90^\circ 90∘90^\circ
75∘75^\circ 75∘75^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
45∘45^\circ 45∘45^\circ
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Mediana zestawu sześciu danych liczb: , jest równa . Zatem
a=7a=7a=7a=7
a=12a=12a=12a=12
a=14a=14a=14a=14
a=20a=20a=20a=20
Mediana
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry , jest
36363636
162162162162
243243243243
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
W pudełku jest kul. Wśród nich jest kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe
18\displaystyle \frac{1}{8} 81\displaystyle \frac{1}{8}
15\displaystyle \frac{1}{5} 51\displaystyle \frac{1}{5}
140\displaystyle \frac{1}{40} 401\displaystyle \frac{1}{40}
135\displaystyle \frac{1}{35} 351\displaystyle \frac{1}{35}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta jest równa , to miara kąta jest równa .
Dowodzenie w planimetrii
Ze zbioru liczb losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
W trapezie prostokątnym dłuższa podstawa ma długość . Przekątna tego trapezu ma długość i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze (zobacz rysunek).
Oblicz długość przekątnej tego trapezu.
Trapez prostokątny
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: jest równa .
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Oblicz liczbę , dla której .
Dany jest punkt . Prosta o równaniu jest symetralną odcinka . Wyznacz współrzędne punktu .
Symetralna odcinka
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa . Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta .
.png)
