Matura (czerwiec 2023, poziom rozszerzony, dodatkowy, Formuła 2023)

Dane są liczby

Oblicz .

Wśród osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).

Oblicz .

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe .

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych.

Funkcja jest określona wzorem dla każdego . Punkt należy do wykresu funkcji .

Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli oraz , to trójkąt jest równoramienny.

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od i od ), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa .

Rozwiąż równanie

w zbiorze .

W okrąg o równaniu wpisano trójkąt . Bok tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu . Wysokość tego trójkąta dzieli bok tak, że .

Oblicz pole trójkąta .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunki:

Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek .

Oblicz oraz .

Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg o promieniu . Kąty i są proste (zobacz rysunek). Przekątne i tego czworokąta przecinają się w punkcie tak, że oraz .

Oblicz długości boków czworokąta .

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy z dowolnym wierzchołkiem podstawy ma długość (zobacz rysunek).

1. Wyznacz zależność objętości graniastosłupa od jego wysokości i podaj dziedzinę funkcji .

2. Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.