Matura (czerwiec 2023, poziom rozszerzony, dodatkowy, Formuła 2015)

Wartość wyrażenia jest równa

Dany jest trójkąt o bokach długości oraz . Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy

Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa

Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej . Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku 1.

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu funkcji .

Fragment wykresu funkcji przedstawia

Oblicz granicę

Wyznacz pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Funkcja jest określona wzorem dla każdego . Punkt należy do wykresu funkcji .

Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli oraz , to trójkąt jest równoramienny.

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od i od ), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa .

Rozwiąż równanie

w zbiorze .

W pudełku umieszczono kul () wśród których dokładnie kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe . Oblicz .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunki:

Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg o promieniu . Kąty i są proste (zobacz rysunek). Przekątne i tego czworokąta przecinają się w punkcie tak, że oraz .

Oblicz długości boków czworokąta .

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy z dowolnym wierzchołkiem podstawy ma długość (zobacz rysunek).

1. Wyznacz zależność objętości graniastosłupa od jego wysokości i podaj dziedzinę funkcji .

2. Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Okrąg o środku w punkcie jest określony równaniem . Okrąg ma środek w punkcie takim, że . Promienie tych okręgów są sobie równe.

Figura składa się z dwóch okręgów: oraz . Punkty i są punktami przecięcia figury z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt , leżący na jednej z osi symetrii figury , taki, że pole trójkąta jest równe .