Matura (maj 2020, poziom rozszerzony, (stara formuła))

Rozwiąż nierówność .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Liczby dodatnie i spełniają równość . Wykaż, że .

Dany jest trójkąt równoramienny , w którym , a punkt jest środkiem podstawy . Okrąg o środku jest styczny do prostej w punkcie . Punkt leży na boku , punkt leży na boku , odcinek jest styczny do rozważanego okręgu oraz (zobacz rysunek).

Wykaż, że .

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym spełniona jest równość . Wyrazy są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz .

Rozwiąż równanie dla .

Dane jest równanie kwadratowe z niewiadomą . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których różne rozwiązania i tego równania istnieją i spełniają warunek

W trójkącie równoramiennym : , a miara kąta jest równa . Na boku wybrano punkt , taki, że . Oblicz sinus kąta (zobacz rysunek).

Prosta o równaniu przecina okrąg o równaniu w punktach i . Punkt jest środkiem cięciwy . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku i skali .

Dany jest kwadrat o boku długości . Na bokach i tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty i , takie, że długość odcinka (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość , dla której pole trójkąta osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry i dokładnie dwie cyfry .

Podstawą ostrosłupa czworokątnego jest trapez . Ramiona tego trapezu mają długości i , a miara kąta jest równa . Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt , taki, że . Oblicz objętość tego ostrosłupa.