Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.
∣x−7∣<15|x-7|<15∣x−7∣<15|x-7|<15
∣x−7∣>15|x-7|>15∣x−7∣>15|x-7|>15
∣x−15∣<7|x-15|<7∣x−15∣<7|x-15|<7
∣x−15∣>7|x-15|>7∣x−15∣>7|x-15|>7
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Liczba jest równa
220132^{2013}220132^{2013}
220122^{2012}220122^{2012}
210072^{1007}210072^{1007}
120141^{2014}120141^{2014}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Liczba . Wtedy
c3=2c^3=2c3=2c^3=2
3c=23^c=23c=23^c=2
32=c3^2=c32=c3^2=c
c2=3c^2=3c2=3c^2=3
Definicja logarytmu
2+2152+2\sqrt{15}2+2152+2\sqrt{15}
8888
2+4152+4\sqrt{15}2+4152+4\sqrt{15}
2222
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Julia połowę swoich oszczędności przeznaczyła na prezent dla Maćka. tego, co jej zostało, przeznaczyła na prezent dla Dominiki. Ile procent oszczędności pozostało Julii?
25252525
40404040
45454545
55555555
Obliczanie procentu danej liczby
Rozwiązaniem równania jest liczba
−11-11−11-11
112\displaystyle \frac{11}2{} 211\displaystyle \frac{11}2{}
211\displaystyle \frac{2}{11} 112\displaystyle \frac{2}{11}
11111111
Równania wymierne
Jeśli , to
b=a+1a⋅c\displaystyle b= \frac{a+1}{a \cdot c} b=a⋅ca+1\displaystyle b= \frac{a+1}{a \cdot c}
b=a⋅ca+1\displaystyle \displaystyle b= \frac{a \cdot c}{a+1} b=a+1a⋅c\displaystyle \displaystyle b= \frac{a \cdot c}{a+1}
b=a⋅ca−1\displaystyle b= \frac{a \cdot c}{a-1} b=a−1a⋅c\displaystyle b= \frac{a \cdot c}{a-1}
b=a−1a⋅c\displaystyle b= \frac{a-1}{a \cdot c} b=a⋅ca−1\displaystyle b= \frac{a-1}{a \cdot c}
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji .
Dziedziną funkcji jest przedział
[0,3]\left[0,3\right][0,3]\left[0,3\right]
(0,8]\left(0,8\right](0,8]\left(0,8\right]
[−3,3]\left[-3,3\right][−3,3]\left[-3,3\right]
(−3,8]\left(-3,8\right](−3,8]\left(-3,8\right]
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Największą wartością funkcji jest
3333
0000
−3-3−3-3
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem .
Rozpoznawanie (i rysowanie) wykresu funkcji kwadratowej na podstawie wzoru
Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział , może być określona wzorem
y=(x+2)2−3y=\left(x+2\right)^2-3y=(x+2)2−3y=\left(x+2\right)^2-3
y=−(x+3)2y=-\left(x+3\right)^2y=−(x+3)2y=-\left(x+3\right)^2
y=−(x−2)2−3y=-\left(x-2\right)^2-3y=−(x−2)2−3y=-\left(x-2\right)^2-3
y=−x2+3y=-x^2+3y=−x2+3y=-x^2+3
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Funkcja liniowa jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
a>0a>0a>0a>0 i b>0b>0b>0b>0
a<0a<0a<0a<0 i b<0b<0b<0b<0
a<0a<0a<0a<0 i b>0b>0b>0b>0
a>0a>0a>0a>0 i b<0b<0b<0b<0
Monotoniczność funkcji liniowej
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy . Wtedy
a10=72\displaystyle a_{10}= \frac{7}{2} a10=27\displaystyle a_{10}= \frac{7}{2}
a10=4\displaystyle a_{10}= 4a10=4\displaystyle a_{10}= 4
a10=325\displaystyle a_{10}= \frac{32}{5} a10=532\displaystyle a_{10}= \frac{32}{5}
a10=32a_{10}=32a10=32a_{10}=32
Suma ciągu arytmetycznego
Ciąg geometryczny określony jest wzorem dla . Iloraz tego ciągu jest równy
−34\displaystyle - \frac{3}{4} −43\displaystyle - \frac{3}{4}
34\displaystyle \frac{3}{4} 43\displaystyle \frac{3}{4}
Definicja
Kąt jest ostry i spełniona jest równość . Wtedy wartość wyrażenia jest równa
1111
51326\displaystyle \frac{5\sqrt{13}}{26} 26513\displaystyle \frac{5\sqrt{13}}{26}
51313\displaystyle \frac{5\sqrt{13}}{13} 13513\displaystyle \frac{5\sqrt{13}}{13}
5\sqrt{5}5\sqrt{5}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy . Wysokość tego trójkąta jest równa
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
838\sqrt{3}838\sqrt{3}
12121212
6666
Trójkąt równoboczny
Punkty i leżą na okręgu o środku (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy ma miarę
60∘60^\circ 60∘60^\circ
100∘100^\circ 100∘100^\circ
120∘120^\circ 120∘120^\circ
140∘140^\circ 140∘140^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Odcinki i są równoległe i , (zobacz rysunek). Punkt jest środkiem odcinka . Długość odcinka jest równa
4444
16161616
Podobieństwo trójkątów
Dane są równania czterech prostych:
Prostopadłe są proste
llll i nnnn
llll i mmmm
kkkk i nnnn
kkkk i mmmm
Proste prostopadłe
Punkt leży na okręgu o promieniu . Równanie tego okręgu może mieć postać
(x+1)2+y2=9\left(x+1\right)^2+y^2=9(x+1)2+y2=9\left(x+1\right)^2+y^2=9
x2+(y−2)2=3x^2+\left(y-\sqrt{ 2}\right)^2=3x2+(y−2)2=3x^2+\left(y-\sqrt{ 2}\right)^2=3
(x+1)2+(y+3)2=9\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=9(x+1)2+(y+3)2=9\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=9
(x+1)2+y2=3\left(x+1\right)^2+y^2=3(x+1)2+y2=3\left(x+1\right)^2+y^2=3
Równanie okręgu
Punkty i są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie
S=(2,−20)S=\left(2,-20\right)S=(2,−20)S=\left(2,-20\right)
S=(14,10)S=\left(14,10\right)S=(14,10)S=\left(14,10\right)
S=(14,−2)S=\left(14,-2\right)S=(14,−2)S=\left(14,-2\right)
S=(28,−4)S=\left(28,-4\right)S=(28,−4)S=\left(28,-4\right)
Kwadrat w układzie współrzędnych
Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości , jest równe
256π256\pi256π256\pi
128π128\pi128π128\pi
48π48\pi48π48\pi
24π24\pi24π24\pi
Walec
Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa . Objętość graniastosłupa jest równa
27272727
27327\sqrt{3}27327\sqrt{3}
243243243243
2433243\sqrt{3}2433243\sqrt{3}
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe
78\displaystyle \frac{7}{8} 87\displaystyle \frac{7}{8}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
14\displaystyle \frac{1}{4} 41\displaystyle \frac{1}{4}
18\displaystyle \frac{1}{8} 81\displaystyle \frac{1}{8}
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Średnia arytmetyczna liczb: jest równa . Mediana tego zestawu liczb jest równa
7777
10101010
5555
Mediana
Rozwiąż nierówność .
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe – postać ogólna
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Kąt jest ostry oraz . Oblicz wartość wyrażenia .
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Dany jest trójkąt , w którym . Na bokach i tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty i , że zachodzi równość . Proste i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek). Wykaż, że .
Dowodzenie w planimetrii
Dany jest ciąg arytmetyczny określony dla , w którym oraz . Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Miasta i są odległe o . Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
prędkości, z jaką pani Danuta jechała z do .
prędkości, z jaką pani Lidia jechała z do .
Układy równań - prędkość
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa , a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Zbiór tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: . Ze zbioru losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od , w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
