Matura (sierpień 2016, poziom podstawowy, poprawka, (nowa formuła))

Suma pięciu kolejnych liczb całkowitych jest równa . Najmniejszą z tych liczb jest

Buty, które kosztowały złotych, przeceniono i sprzedano za złotych. O ile procent obniżono cenę butów?

Liczba jest równa

Liczba jest równa

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Wynika stąd, że funkcja jest rosnąca w przedziale

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej , przy czym i .

Wykres funkcji jest symetryczny do wykresu funkcji względem początku układu współrzędnych. Funkcja jest określona wzorem

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy , a czwarty wyraz tego ciągu jest równy . Iloraz tego ciągu jest równy

Kąt jest ostry i . Wtedy wartość wyrażenia jest równa

Jeśli funkcja kwadratowa nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba spełnia warunek

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest określona wzorem . Wtedy wyraz jest równy

Układ równań

Liczba jest równa

Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych , gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą?

Kąt rozwarcia stożka ma miarę , a tworząca tego stożka ma długość . Promień podstawy stożka jest równy

Wartość wyrażenia jest równa

Dany jest walec, w którym promień podstawy jest równy , a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca jest równa

Przekątne równoległoboku mają długości i , a kąt między tymi przekątnymi ma miarę . Pole tego równoległoboku jest równe

Punkty i leżą na okręgu o środku . Cięciwa przecina średnicę tego okręgu w punkcie tak, że . Kąt środkowy ma miarę (zobacz rysunek).

Kąt wpisany ma miarę

Okręgi o środkach oraz i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości , a przekątna ściany bocznej ma długość (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę .

Wtedy wartość jest równa

Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa . Podstawą tego ostrosłupa jest

Jeżeli do zestawu czterech danych: dołączymy liczbę , to średnia arytmetyczna wzrośnie o . Zatem

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez ?

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wynikiem rzutu są dwa orły i sześć oczek na kostce, jest równe

Rozwiąż nierówność .

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy , a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę . Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy , to otrzymamy liczbę . Wyznacz ten ułamek.

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste spełniają warunek , to

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Oblicz najmniejszą wartość funkcji w przedziale .

W trapezie o podstawach i przekątne oraz przecinają się w punkcie . Wykaż, że jeżeli , to pole trójkąta jest razy większe od pola trójkąta .

Ciąg arytmetyczny określony jest wzorem , dla . Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego : i oraz prosta o równaniu zawierająca przeciwprostokątną tego trójkąta.

Oblicz współrzędne wierzchołka tego trójkąta i długość odcinka .

Trójkąt równoboczny jest podstawą ostrosłupa prawidłowego , w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , a krawędź boczna ma długość (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Ze zbioru siedmiu liczb naturalnych losujemy dwie różne liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że większą z wylosowanych liczb będzie liczba .