Formuła 2023
Liczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności jest równa
2222
3333
5555
7777
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Liczba jest równa
0,040{,}040,040{,}04
0,80{,}80,80{,}8
2,52{,}52,52{,}5
0,40{,}40,40{,}4
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Wskaż dwie prawdziwe równości spośród oznaczonych literami A–F
A)
B)
C)
D)
E)
F)
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
jest przedział
(−∞,−11)(-\infty,-11)(−∞,−11)(-\infty,-11)
(−∞,−11](-\infty,-11](−∞,−11](-\infty,-11]
(−11,+∞)(-11,+\infty)(−11,+∞)(-11,+\infty)
[−11,+∞)[-11,+\infty)[−11,+∞)[-11,+\infty)
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
dwa rozwiązania: (−5)(-5)(−5)(-5) oraz 2222.
dwa rozwiązania: (−5)(-5)(−5)(-5) oraz 0000.
trzy rozwiązania: (−5)(-5)(−5)(-5), 0000 oraz 2222.
cztery rozwiązania: (−5), (−2), 0(-5),\ (-2),\ 0(−5), (−2), 0(-5),\ (-2),\ 0 oraz 2222.
Równania wymierne
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
{y=x+2y=2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=2x-3\end{cases}{y=x+2y=2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=2x-3\end{cases}
{y=−x+2y=2x−3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-3\end{cases}{y=−x+2y=2x−3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-3\end{cases}
{y=x+2y=−2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=-2x-3\end{cases}{y=x+2y=−2x−3\begin{cases}y=x+2\\y=-2x-3\end{cases}
{y=−x+2y=2x+3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x+3\end{cases}{y=−x+2y=2x+3\begin{cases}y=-x+2\\y=2x+3\end{cases}
Układy równań liniowych – interpretacja geometryczna
Funkcja jest określona za pomocą tabeli
Największa wartość funkcji jest równa
1111
4444
6666
Odczytywanie własności z tabeli wartości
Miejsce zerowe funkcji jest równe
Funkcja liniowa jest określona wzorem
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji jest prostą nachyloną do osi pod kątem ostrym . Oblicz sinus kąta .
Kąt nachylenia prostej do osi OXOXOXOX
Pusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie .
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Funkcja jest malejąca.
P
F
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Zadania z treścią
16,816{,}816,816{,}8
15,815{,}815,815{,}8
11,311{,}311,311{,}3
10,310{,}310,310{,}3
Funkcja jest określona wzorem
f(x)=6,5x+1,03f(x)=6{,}5x+1{,}03f(x)=6,5x+1,03f(x)=6{,}5x+1{,}03
f(x)=1,03x+10f(x)=1{,}03x+10f(x)=1,03x+10f(x)=1{,}03x+10
f(x)=10x+1,03f(x)=10x+1{,}03f(x)=10x+1,03f(x)=10x+1{,}03
f(x)=1,03x+6,5f(x)=1{,}03x+6{,}5f(x)=1,03x+6,5f(x)=1{,}03x+6{,}5
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−∞,−2](-\infty,-2](−∞,−2](-\infty,-2]
[1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)[1,+\infty)
[−1,3][-1,3][−1,3][-1,3]
[−2,+∞)[-2,+\infty)[−2,+∞)[-2,+\infty)
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu
x=1x=1x=1x=1
y=1y=1y=1y=1
x=−2x=-2x=−2x=-2
y=−2y=-2y=−2y=-2
Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej
f(x)=12(x−1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+2f(x)=21(x−1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2+2
f(x)=12(x+1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2+2f(x)=21(x+1)2+2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2+2
f(x)=12(x−1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2f(x)=21(x−1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2
f(x)=12(x+1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2f(x)=21(x+1)2−2f(x)=\frac{1}{2}(x+1)^2-2
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej . Suma początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Trzeci wyraz ciągu jest równy
13131313
15151515
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Dany jest ciąg geometryczny określony dla każdej liczby naturalnej , w którym oraz .Iloraz ciągu jest równy
9999
523\displaystyle \frac{52}{3}352\displaystyle \frac{52}{3}
27272727
Wzór ogólny ciągu geometrycznego
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.Ten ciąg jest:
A) rosnący B) malejący
oraz 1) 2) 3)
A, 1
A, 2
A, 3
B, 1
B, 2
B, 3
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Kąt jest ostry oraz . Tangens kąta jest równy
718\displaystyle \frac{7}{18}187\displaystyle \frac{7}{18}
724\displaystyle \frac{7}{24}247\displaystyle \frac{7}{24}
725\displaystyle \frac{7}{25}257\displaystyle \frac{7}{25}
1825\displaystyle \frac{18}{25}2518\displaystyle \frac{18}{25}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W trójkącie prostokątnym sinus kąta jest równy , a przeciwprostokątna jest o dłuższa od przyprostokątnej . Długość przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równa
18181818
20202020
24242424
25252525
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Dany jest trójkąt , w którym , oraz . Długość boku tego trójkąta jest równa
17\sqrt{17}17\sqrt{17}
23\sqrt{23}23\sqrt{23}
35\sqrt{35}35\sqrt{35}
41\sqrt{41}41\sqrt{41}
Twierdzenie Cosinusów
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Miara kąta jest równa (zobacz rysunek).
Miara kąta wpisanego jest równa
80∘80^\circ80∘80^\circ
90∘90^\circ90∘90^\circ
100∘100^\circ100∘100^\circ
110∘110^\circ110∘110^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości: oraz . Wysokość tego trapezu ma długość . Na odcinku leży punkt taki, że (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka .
Trapez prostokątny
W kartezjańskim układzie współrzędnych przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie . Bok tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu , a bok zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka .
Równoległobok w układzie współrzędnych
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste oraz są określone równaniami
Proste oraz są równoległe, gdy liczba jest równa
(−6)(-6)(−6)(-6)
(−2)(-2)(−2)(-2)
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych odcinek o końcach oraz jest średnicą okręgu . Okrąg jest określony równaniem
(x−1)2+(y−3)2=41(x-1)^2+(y-3)^2=41(x−1)2+(y−3)2=41(x-1)^2+(y-3)^2=41
(x−5)2+(y+4)2=41(x-5)^2+(y+4)^2=41(x−5)2+(y+4)2=41(x-5)^2+(y+4)^2=41
(x−1)2+(y+3)2=41(x-1)^2+(y+3)^2=41(x−1)2+(y+3)2=41(x-1)^2+(y+3)^2=41
(x−5)2+(y−4)2=41(x-5)^2+(y-4)^2=41(x−5)2+(y−4)2=41(x-5)^2+(y-4)^2=41
Równanie okręgu
Liczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa . Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa
10101010
11111111
12121212
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Długości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość . Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe
376376376376
466466466466
480480480480
720720720720
Prostopadłościan
Dany jest prostopadłościan , w którym podstawy i są kwadratami o boku długości . Przekątna tego prostopadłościanu tworzy z przekątną ściany bocznej kąt o mierze (zobacz rysunek).
Przekątna tego prostopadłościanu ma długość równą
434\sqrt{3}434\sqrt{3}
636\sqrt{3}636\sqrt{3}
12212\sqrt{2}12212\sqrt{2}
Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o większa od cyfry jedności, jest
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.
Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa
3,253{,}253,253{,}25
3,313{,}313,313{,}31
Średnia arytmetyczna / ważona
Dane są dwa zbiory: oraz . Losujemy jedną liczbę ze zbioru , a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych oraz jest równa . Wyznacz oraz , dla których wartość wyrażenia jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
