Matura (czerwiec 2025, poziom rozszerzony, dodatkowy, Formuła 2023)

Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe .

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że spośród pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych.

Wykaż, że jeżeli oraz , to .

Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od .

Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych.

Dany jest prostokąt , w którym . Na bokach , , oraz tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – , , oraz (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ). Czworokąt jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość tego trapezu jest równoległa do przekątnej prostokąta.

Wykaż, że stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek

Rozwiąż równanie

w przedziale .

Na czworokącie wypukłym o bokach długości: , , oraz , opisano okrąg.

Oblicz promień tego okręgu.

Wielomian zmiennej rzeczywistej jest określony wzorem , gdzie . Liczba jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych styczna do wykresu wielomianu w punkcie o pierwszej współrzędnej równej przecina ten wykres w punkcie .

Wyznacz wzór wielomianu .

Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu oraz .
Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest geometryczny i oraz .

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu .

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie . Płaszczyzna zawierająca krawędź podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej przecina tę krawędź w punkcie , przy czym .

Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy .

W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok o wierzchołkach i oraz środku symetrii .
Okrąg przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki i tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu jest liczbą ujemną.

Wyznacz równanie okręgu .

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym .

Wykaż, że objętość graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy jest określona wzorem

dla .

Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.