Ten typ obejmuje zadania, w których korzystamy z równania okręgu w układzie współrzędnych: odczytujemy z niego środek i promień, zapisujemy równanie okręgu o danych własnościach oraz badamy położenie punktów i osi układu względem okręgu. Okrąg o środku S=(a,b) i promieniu r>0 jest zbiorem punktów P=(x,y), dla których |SP|=r. Ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych zapisujemy ten warunek jako równanie, a po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy równanie okręgu w postaci kanonicznej:

\begin{aligned}\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\ (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2\end{aligned} $Okrąg w układzie współrzędnych$

Liczby a i b są współrzędnymi środka, a r — promieniem, czyli odległością każdego punktu okręgu od środka. Równanie okręgu w tej postaci znajduje się w wybranych wzorach matematycznych do matury.

Uwaga

Znaki współrzędnych środka i kwadrat promienia

Pamiętamy, że w nawiasach odejmujemy współrzędne środka, dlatego (x+5)^2 oznacza pierwszą współrzędną środka równą -5, bo x+5=x-(-5), a samo y^2 — drugą współrzędną równą 0. Po prawej stronie stoi kwadrat promienia, więc promień jest pierwiastkiem z tej liczby. W odpowiedziach do wyboru często pojawiają się równania z odwrotnymi znakami albo z promieniem wpisanym zamiast jego kwadratu.

Środek i promień a równanie okręgu

W tym wariancie przechodzimy bezpośrednio między równaniem okręgu a jego środkiem i promieniem. Korzystamy z definicji okręgu w układzie współrzędnych: zapisujemy równanie tak, aby w nawiasach stały różnice, a po prawej stronie kwadrat liczby dodatniej, i odczytujemy środek oraz promień, np.:

\begin{aligned}(x+4)^2+(y-1)^2&=7\\ \big(x-(-4)\big)^2+(y-1)^2&=\big(\sqrt{7}\big)^2\end{aligned}

Stąd S=(-4,1) i r=\sqrt{7}. Postępując odwrotnie, dany środek i promień wstawiamy do równania (x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

W tym zadaniu z równania odczytujemy tylko środek okręgu. W jednym z nawiasów stoi suma, więc najpierw zapisujemy ją jako różnicę, a dopiero potem odczytujemy współrzędną środka.

Tutaj pytanie dotyczy promienia, a prawa strona równania nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc promień zapisujemy jako pierwiastek z tej liczby.

Tutaj postępujemy odwrotnie: znamy środek i promień, a szukamy równania. Współrzędne środka wpisujemy do nawiasów ze zmienionymi znakami, a promień podnosimy do kwadratu.

W tym zadaniu środek i promień odczytujemy z rysunku na siatce — promień to odległość środka od dowolnego punktu okręgu leżącego w węźle siatki.

Promień jako odległość środka od punktu okręgu

W tym wariancie znamy środek okręgu S=(a,b) i jeden z jego punktów P=(x_P,y_P), ale nie znamy promienia. Promień jest odległością środka od dowolnego punktu okręgu, więc obliczamy go ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

r=|SP|=\sqrt{(x_P-a)^2+(y_P-b)^2} $Wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych$

W tym zadaniu znanym punktem okręgu jest początek układu współrzędnych. Do równania okręgu potrzebujemy tylko r^2, więc pierwiastka nie trzeba obliczać.

Tutaj znanym punktem okręgu jest koniec średnicy. Do obliczenia promienia wystarczy ten koniec, którego obie współrzędne znamy, więc brak jednej współrzędnej drugiego końca nie przeszkadza.

Tutaj zamiast równania okręgu trzeba podać jego długość, więc obliczony promień wstawiamy do wzoru na długość okręgu.

Okrąg o danej średnicy

W tym wariancie znamy końce A i B średnicy okręgu. Średnica przechodzi przez środek okręgu, a jej połowy są promieniami, więc środek okręgu jest środkiem odcinka AB. Wyznaczamy go ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych, a promień jest połową długości średnicy:

\begin{aligned}S&=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\\ r&=\frac{|AB|}{2}=|SA|\end{aligned} $Wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych$

W tym zadaniu znamy oba końce średnicy, więc z nich wyznaczamy środek okręgu i kwadrat promienia, a potem wybieramy właściwe równanie.

Tutaj końce średnicy są symetryczne względem początku układu współrzędnych, więc środkiem okręgu jest początek układu, a w równaniu nie ma nawiasów.

Sprawdzanie, czy punkt leży na okręgu

W tym wariancie sprawdzamy, czy punkt P=(x_0,y_0) należy do okręgu \mathcal{O} o środku S=(a,b) i promieniu r. Z definicji okręgu w układzie współrzędnych tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne punktu spełniają równanie okręgu, czyli gdy odległość |SP| jest równa promieniowi:

P\in\mathcal{O}\iff(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2

W tym zadaniu znamy równanie okręgu i kolejno podstawiamy do niego współrzędne podanych punktów — szukamy tego, dla którego otrzymujemy równość prawdziwą.

Tutaj zamiast równania znamy środek i promień okręgu, więc dla każdego punktu możemy od razu porównać jego odległość od środka z promieniem.

Tutaj znamy tylko jeden punkt okręgu i promień. Takich okręgów jest nieskończenie wiele, więc odrzucamy równania z niewłaściwym promieniem, a spośród pozostałych wybieramy to, które spełniają współrzędne punktu.

Tutaj w zadaniu typu prawda–fałsz oceniamy przynależność punktu do okręgu oraz podane równanie okręgu, w którym sprawdzamy, czy po prawej stronie stoi kwadrat promienia.

Punkty wspólne okręgu z osiami układu

W tym wariancie wyznaczamy punkty wspólne okręgu z osiami układu albo ustalamy, ile ich jest. Punkty osi OX mają postać (x,0), a punkty osi OY — postać (0,y), więc do równania okręgu w układzie współrzędnych podstawiamy y=0 albo x=0. Dla osi OX otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą:

(x-a)^2=r^2-b^2 $Położenie prostej względem okręgu$

Ma ono dwa rozwiązania, gdy |b|<r, jedno, gdy |b|=r, i żadnego, gdy |b|>r. Liczba |b| jest odległością środka S=(a,b) od osi OX, więc liczbę punktów wspólnych możemy też ustalić, porównując tę odległość z promieniem. Dla osi OY porównujemy z promieniem liczbę |a|.

W tym zadaniu szukamy współrzędnych punktów przecięcia okręgu z osią OY, więc podstawiamy 0 za x i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą y.

Tutaj pytanie dotyczy liczby punktów wspólnych z obiema osiami, więc wygodnie jest porównać promień z odległością środka od każdej osi i zsumować wyniki.

Tutaj porównujemy cztery okręgi i szukamy tego, który nie ma punktów wspólnych z żadną osią — jego promień musi być mniejszy od odległości środka od każdej z osi.

Okrąg styczny do osi lub prostej równoległej do osi

W tym wariancie oś układu albo prosta równoległa do osi jest styczną do okręgu. Z twierdzenia o stycznej do okręgu wiemy, że promień jest wtedy równy odległości środka od stycznej, a promień poprowadzony do punktu styczności jest do niej prostopadły:

r=d(S,k) $Twierdzenie o stycznej do okręgu$

Tutaj d(S,k) oznacza odległość środka S=(a,b) od stycznej k. Dla osi OX jest ona równa |b|, a dla osi OY — |a|. Zadania, w których wyznaczamy styczną do danego okręgu, zostały zebrane w osobnym typie Styczna do okręgu.

W tym zadaniu okrąg jest styczny do osi OY, a nieznany jest tylko promień — współrzędne środka odczytujemy z równania.

Tutaj okrąg jest styczny do osi OY i do prostej poziomej, a pierwsza współrzędna środka jest nieznana. Nie jest ona potrzebna: promień to odległość środka od prostej poziomej, czyli wartość bezwzględna różnicy drugiej współrzędnej środka i liczby z równania tej prostej.

Tutaj zamiast środka znamy punkty styczności okręgu z obiema osiami. Promienie poprowadzone do tych punktów są prostopadłe do osi, więc środek leży na prostej pionowej przez punkt na osi OX i na prostej poziomej przez punkt na osi OY.

Okrąg styczny do obu osi i przechodzący przez punkt

W tym wariancie okrąg jest styczny do obu osi układu i przechodzi przez dany punkt P. Z twierdzenia o stycznej do okręgu środek jest oddalony od każdej osi o r, więc obie jego współrzędne mają wartość bezwzględną r, a znaki zgodne z ćwiartką, w której leży punkt P. Równanie takiego okręgu ma postać:

(x\pm r)^2+(y\pm r)^2=r^2

Po podstawieniu współrzędnych punktu P otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r. Zwykle ma ono dwa dodatnie rozwiązania, więc warunki zadania spełniają dwa okręgi.

W tym zadaniu dany punkt leży w pierwszej ćwiartce, więc środek okręgu ma postać (r,r).

Odległość środka okręgu od punktu lub od drugiego środka

W tym wariancie odczytujemy z równania współrzędne środka okręgu, a następnie obliczamy jego odległość od danego punktu albo od środka drugiego okręgu. Korzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

|S_1S_2|=\sqrt{(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2}

Tutaj S_1=(a_1,b_1) i S_2=(a_2,b_2). Promień okręgu nie jest w tym wariancie potrzebny.

W tym zadaniu liczymy odległość danego punktu od środka okręgu, więc z równania odczytujemy tylko współrzędne środka.

Tutaj szukamy odległości środków dwóch okręgów. W równaniu jednego z nich nie ma nawiasów, więc jego środkiem jest początek układu współrzędnych.

Okręgi styczne zewnętrznie

W tym wariancie dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a szukamy promienia jednego z nich. Z twierdzenia o okręgach stycznych wiemy, że odległość środków okręgów stycznych zewnętrznie jest równa sumie ich promieni:

|S_1S_2|=r_1+r_2 $Twierdzenie o okręgach stycznych$

Odległość środków obliczamy ze wzoru na długość odcinka i otrzymujemy równanie z nieznanym promieniem. Zadania o wzajemnym położeniu dwóch okręgów, w których nie korzystamy z układu współrzędnych, zostały zebrane w osobnym typie Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła, wzajemne położenie dwóch okręgów.

W tym zadaniu znamy promień jednego z okręgów, więc szukany promień jest różnicą odległości środków i znanego promienia.

Tutaj oba okręgi mają równe, nieznane promienie, więc odległość środków jest równa podwojonemu promieniowi.

Okrąg o równaniu (x+2)^2+(y-1)^2=13 ma promień równy

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia