Ten typ obejmuje zadania, w których korzystamy z podstawowych tożsamości trygonometrycznych: jedynki trygonometrycznej i wzoru na tangens. Dzięki nim z wartości jednej funkcji kąta obliczamy pozostałe, upraszczamy wyrażenia, rozwiązujemy proste równania i uzasadniamy równości.

\begin{aligned}\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=1\\ \tg\alpha&=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\end{aligned} $Jedynka trygonometryczna$

Wzór na tangens stosujemy, gdy \cos\alpha\neq 0, czyli dla kąta różnego od 90^\circ. Obie tożsamości zachodzą dla kątów ostrych i rozwartych, bo wynikają z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Jedynkę często zapisujemy w postaci \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha lub \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha, a wzór na tangens — w postaci \sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha.

Uwaga

Znak wartości obliczonej z jedynki

Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy kwadrat szukanej funkcji, np. \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha, więc wyciągając pierwiastek, musimy ustalić znak. Zgodnie z twierdzeniem o znaku funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego sinus, cosinus i tangens są dodatnie, a dla kąta rozwartego sinus jest dodatni, natomiast cosinus i tangens — ujemne. Dla cosinusa oznacza to:

\cos\alpha=\begin{cases}\sqrt{1-\sin^2\alpha}, & 0^\circ<\alpha<90^\circ\\ -\sqrt{1-\sin^2\alpha}, & 90^\circ<\alpha<180^\circ\end{cases}

$Twierdzenie o znaku funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych$

Wartości pozostałych funkcji z wartości jednej funkcji

W tym wariancie znamy wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta i szukamy innej. Sinus i cosinus wiąże jedynka trygonometryczna, z której drugą z tych funkcji obliczamy, pamiętając o znaku, a tangens wyznaczamy ze wzoru na tangens.

Zadania, w których te same wartości wyznaczamy, rysując trójkąt prostokątny o odpowiednich bokach, zostały zebrane w osobnym typie Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

W tym zadaniu znamy sinus kąta ostrego i szukamy jego cosinusa — wystarczy jedynka trygonometryczna, a pierwiastek bierzemy ze znakiem plus, bo kąt jest ostry.

Tutaj dany jest cosinus, a szukamy tangensa, więc najpierw z jedynki obliczamy sinus, a dopiero potem dzielimy go przez cosinus.

Tutaj kąt jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny — z jedynki otrzymujemy kwadrat cosinusa i przed pierwiastkiem stawiamy minus.

Tutaj dany jest tangens, więc korzystamy z obu tożsamości naraz: podstawiamy \sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha do jedynki i obliczamy \cos^2\alpha, a potem \sin^2\alpha. Pierwiastkowanie nie jest potrzebne, bo szukamy kwadratu sinusa.

Wartość wyrażenia przy danej wartości funkcji

W tym wariancie znamy wartość jednej funkcji kąta i obliczamy wartość wyrażenia, w którym występuje kilka funkcji. Zanim podstawimy liczby, przekształcamy wyrażenie za pomocą jedynki trygonometrycznej i wzoru na tangens tak, aby zostały w nim funkcje, których wartości znamy albo łatwo obliczymy.

W tym zadaniu dany jest sinus kąta ostrego, a w wyrażeniu występuje tylko kwadrat cosinusa — z jedynki zastępujemy go wyrażeniem z sinusem, więc nie musimy obliczać samego cosinusa.

Tutaj dany jest cosinus, a wyrażenie jest iloczynem sinusa i tangensa. Ze wzoru na tangens otrzymujemy iloraz kwadratu sinusa przez cosinus, a kwadrat sinusa zastępujemy z jedynki wyrażeniem z cosinusem.

Tutaj kąt jest rozwarty. Po zastosowaniu wzoru na tangens w wyrażeniu zostaje tylko cosinus, który obliczamy z jedynki ze znakiem minus.

Ułamek z sinusem i cosinusem przy danym tangensie

W tym wariancie znamy tangens kąta i obliczamy wartość ułamka, którego licznik i mianownik są sumami wyrazów z \sin\alpha i \cos\alpha. Dzielimy licznik i mianownik przez \cos\alpha\neq 0 i ze wzoru na tangens zastępujemy każdy iloraz \displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} tangensem:

\frac{p\sin\alpha+q\cos\alpha}{r\sin\alpha+s\cos\alpha}=\frac{p\tg\alpha+q}{r\tg\alpha+s}

Litery p, q, r, s oznaczają tu dane współczynniki. Nie trzeba wtedy obliczać osobno sinusa i cosinusa. Równoważnie możemy podstawić \sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha i skrócić ułamek przez \cos\alpha.

W tym zadaniu licznik i mianownik zawierają sinus i cosinus z różnymi współczynnikami, więc po podzieleniu przez cosinus każdy z nich jest wyrażeniem liniowym względem tangensa.

Tutaj ułamek jest ilorazem różnicy i sumy sinusa i cosinusa, więc po podzieleniu licznika i mianownika przez cosinus otrzymujemy \displaystyle \frac{\tg\alpha-1}{\tg\alpha+1}.

Upraszczanie i przekształcanie wyrażeń

W tym wariancie przekształcamy wyrażenie do prostszej, równoważnej postaci. Szukamy w nim sumy \sin^2\alpha+\cos^2\alpha albo różnic 1-\sin^2\alpha i 1-\cos^2\alpha, które z jedynki trygonometrycznej zastępujemy odpowiednio przez 1, \cos^2\alpha i \sin^2\alpha.

Gdy w wyrażeniu występują funkcje różnych kątów, np. \sin 70^\circ i \cos 20^\circ, najpierw zamieniamy je na funkcje jednego kąta — zadania tego rodzaju zostały zebrane w osobnym typie Wzory redukcyjne.

W tym zadaniu oba składniki wyrażenia mają wspólny czynnik — po wyłączeniu go przed nawias w nawiasie zostaje suma kwadratów sinusa i cosinusa.

Tutaj wyrażenie jest iloczynem dwóch ułamków z różnicami 1-\sin^2\alpha i 1-\cos^2\alpha. Po zastąpieniu ich z jedynki skracamy ułamki, a iloraz sinusa przez cosinus zapisujemy jako tangens.

Tutaj wyrażenie dotyczy konkretnego kąta, którego funkcji nie znamy. Iloczyn rozwijamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, a potem korzystamy z jedynki.

Równanie z sinusem, cosinusem i tangensem

W tym wariancie kąt spełnia podaną równość, a szukamy wartości jednej funkcji. Przekształcamy równość ze wzoru na tangens: iloraz \displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} zastępujemy tangensem albo tangens — tym ilorazem, zależnie od tego, której funkcji szukamy. Dzielimy tylko przez wyrażenia różne od zera — dla kąta ostrego \sin\alpha>0 i \cos\alpha>0. Na przykład z równości 2\sin\alpha=5\cos\alpha po podzieleniu obu stron przez 2\cos\alpha otrzymujemy \displaystyle \tg\alpha=\frac{5}{2}.

W tym zadaniu równość wiąże sinus i cosinus kąta ostrego, więc po podzieleniu obu stron przez cosinus od razu otrzymujemy tangens.

Tutaj równość ma postać ułamka z cosinusem w mianowniku. Rozbijamy go na sumę dwóch ułamków: pierwszy jest wielokrotnością tangensa, a drugi liczbą, więc otrzymujemy równanie liniowe z niewiadomym tangensem.

Tutaj w równości występują tangens i sinus, a szukamy cosinusa. Zastępujemy tangens ilorazem sinusa przez cosinus i dzielimy obie strony przez sinus, który dla kąta ostrego jest różny od zera.

Tutaj w równości występują także kwadraty sinusa i cosinusa. Po przeniesieniu ich na jedną stronę tworzą jedynkę trygonometryczną, a pozostała równość wiąże już tylko sinus i cosinus.

Iloczyn sinusa i cosinusa

W tym wariancie korzystamy z zależności między sumą lub różnicą sinusa i cosinusa a ich iloczynem. Podnosimy sumę do kwadratu ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, a różnicę — ze wzoru na kwadrat różnicy, i stosujemy jedynkę trygonometryczną:

\begin{aligned}(\sin\alpha+\cos\alpha)^2&=1+2\sin\alpha\cos\alpha\\ (\sin\alpha-\cos\alpha)^2&=1-2\sin\alpha\cos\alpha\end{aligned}

Sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika i korzystając z jedynki, otrzymujemy też:

\begin{aligned}\tg\alpha+\frac{1}{\tg\alpha}&=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\\ \frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}&=\frac{1}{(\sin\alpha\cos\alpha)^2}\end{aligned}

Z podanego warunku obliczamy więc iloczyn \sin\alpha\cos\alpha, a potem wartość szukanego wyrażenia.

W tym zadaniu dana jest suma sinusa i cosinusa, a szukamy kwadratu ich różnicy. Z kwadratu sumy obliczamy iloczyn, a potem podstawiamy go do rozwinięcia kwadratu różnicy.

Tutaj warunek jest sumą dwóch ułamków z sinusem i cosinusem. Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika w liczniku pojawia się jedynka trygonometryczna, więc warunek dotyczy od razu odwrotności iloczynu.

Tutaj warunek zawiera odwrotności kwadratów sinusa i cosinusa, więc najpierw obliczamy kwadrat iloczynu. Przy wyciąganiu pierwiastka wybieramy wartość dodatnią, bo dla kąta ostrego sinus i cosinus są dodatnie.

Tutaj iloczyn sinusa i cosinusa jest dany od razu, więc wystarczy rozwinąć kwadrat różnicy i zastąpić sumę kwadratów jedynką.

Sprawdzanie, czy istnieje kąt o danych wartościach funkcji

W tym wariancie sprawdzamy, czy podane liczby mogą być sinusem i cosinusem tego samego kąta. Z jedynki trygonometrycznej wynika warunek konieczny: suma ich kwadratów musi być równa 1. Jeśli \sin^2\alpha+\cos^2\alpha\neq 1, taki kąt nie istnieje. Dla kąta ostrego obie wartości muszą ponadto należeć do przedziału (0,1).

Zadania, w których uzasadniamy, że nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych wartościach funkcji jego kątów, zostały zebrane w osobnym typie Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

Dowodzenie równości trygonometrycznych

W tym wariancie uzasadniamy, że równość zachodzi dla każdego kąta z podanego przedziału. Zaczynamy od bardziej złożonej strony i przekształcamy ją, korzystając z jedynki trygonometrycznej, wzoru na tangens i wzorów skróconego mnożenia, aż otrzymamy drugą stronę. Możemy też przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i wykazać, że otrzymane wyrażenie jest równe 0. Nie zaczynamy od założenia, że dowodzona równość jest prawdziwa.

W tym zadaniu po obu stronach występują czwarte i drugie potęgi sinusa i cosinusa. Czwartą potęgę zapisujemy jako kwadrat kwadratu i zastępujemy kwadrat sinusa z jedynki albo korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

Tutaj lewa strona jest iloczynem, a w nawiasie występują odwrotność cosinusa i tangens. Po zapisaniu tangensa jako ilorazu sprowadzamy nawias do wspólnego mianownika, a iloczyn w liczniku rozwijamy ze wzoru na różnicę kwadratów.

Kąt α jest ostry i tg α = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2α.

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia