Ten typ obejmuje zadania, w których wykazujemy, że nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb spełniających założenia — np. dla wszystkich liczb rzeczywistych albo tylko dla liczb dodatnich. Najczęściej przekształcamy ją równoważnie, zgodnie z twierdzeniem o metodzie nierówności równoważnych, aż otrzymamy nierówność, której prawdziwość widać od razu. Kluczowy jest fakt, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:

\begin{aligned}u^2&\ge 0\\ u^2&>0\iff u\neq 0\end{aligned} $Twierdzenie o metodzie nierówności równoważnych$

Wyrażenia zapisujemy jako kwadraty lub sumy kwadratów za pomocą wzorów skróconego mnożenia. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, a gdy choć jeden jej składnik jest dodatni — dodatnia.

Uwaga

Dowód przez przekształcenia równoważne

Każdy krok musi prowadzić do nierówności równoważnej poprzedniej — wtedy z prawdziwości ostatniej nierówności, np. (a-b)^2\ge 0, wynika prawdziwość wyjściowej. Obie strony mnożymy tylko przez wyrażenie o znanym znaku: przez dodatnie bez zmiany zwrotu, przez ujemne — ze zmianą zwrotu. W nierówności ostrej trzeba wskazać założenie, z którego wynika, że otrzymane wyrażenie jest dodatnie, a nie tylko nieujemne.

Zadania, w których podobnymi metodami dowodzimy równości, zostały zebrane w osobnym typie Dowodzenie równań / równości, a nierówności z poziomu rozszerzonego, np. trzeciego i czwartego stopnia — w typie Dowodzenie nierówności (poziom rozszerzony).

Sprowadzenie do kwadratu różnicy

W tym wariancie po usunięciu ułamków i nawiasów oraz przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę otrzymujemy kwadrat różnicy. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

(u-v)^2=u^2-2uv+v^2

Nierówność nieostra (u-v)^2\ge 0 jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych, a ostra (u-v)^2>0 — gdy z założenia u\neq v.

W tym zadaniu porównujemy kwadrat średniej arytmetycznej dwóch liczb ze średnią arytmetyczną ich kwadratów; nierówność jest nieostra, więc zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Tutaj nierówność jest ostra, a po lewej stronie trzeba najpierw wymnożyć dwa nawiasy. Po uporządkowaniu wszystkie współczynniki dzielą się przez tę samą liczbę, więc dzielimy przez nią obie strony.

Tutaj w założeniu jedna zmienna jest porównana z podwojoną drugą, więc po uporządkowaniu otrzymujemy kwadrat różnicy, w którym przy jednej ze zmiennych stoi współczynnik.

Rozkład na sumę kwadratów

W tym wariancie wyrażenie po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę nie jest od razu kwadratem, ale da się je zapisać jako sumę kwadratów z dodatnimi współczynnikami. Rozbijamy wyrazy i uzupełniamy je do pełnych kwadratów, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

x^2-2kx+k^2=(x-k)^2

Suma kwadratów jest nieujemna. Gdy nierówność jest ostra, z założenia, np. x\neq 1, wynika, że co najmniej jeden kwadrat jest dodatni, więc cała suma jest dodatnia.

W tym zadaniu kwadraty uzupełniamy liczbami, na które rozbijamy wyraz wolny. Założenie dotyczy tylko jednej zmiennej i z niego wynika, że jeden z kwadratów jest dodatni.

Tutaj nierówność jest nieostra, a współczynnik przy kwadracie jednej ze zmiennych rozbijamy na dwie części tak, aby jedna z nich dopełniła kwadrat różnicy.

Tutaj po rozbiciu wyrazów otrzymujemy sumę kilku składników nieujemnych, a z założenia, że jedna ze zmiennych jest różna od zera, wynika, że jeden z nich jest dodatni.

Tutaj zmienne występują w potęgach do czwartej włącznie, więc wyrazy grupujemy osobno dla każdej zmiennej i z każdej grupy wyłączamy przed nawias kwadrat zmiennej.

Nierówność kwadratowa względem jednej zmiennej

W tym wariancie nierówność z dwiema zmiennymi traktujemy jako nierówność kwadratową z niewiadomą t i parametrem y — współczynniki trójmianu po lewej stronie zależą wtedy od y. Korzystamy z twierdzenia o rozwiązaniu nierówności kwadratowej:

at^2+bt+c>0 $Twierdzenie o rozwiązaniu nierówności kwadratowej$ $Twierdzenie o rozwiązaniu nierówności kwadratowej$

Ta nierówność zachodzi dla każdej liczby t, gdy a>0 i \Delta<0; gdy \Delta=0, trójmian jest nieujemny i zeruje się w jednym punkcie. Wyróżnik zależy od parametru i zwykle ma postać -k(y-p)^2 z k>0, więc jest ujemny dla y\neq p, a przypadek y=p rozpatrujemy osobno. Zadania tego wariantu można też rozwiązać rozkładem na sumę kwadratów. Zadania, w których rozwiązujemy nierówności kwadratowe, zostały zebrane w osobnym typie Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań.

W tym zadaniu wyróżnik trójmianu zależy od drugiej zmiennej, a założenie wyklucza tę jej wartość, dla której wyróżnik byłby równy zeru.

Tutaj założenie porównuje obie zmienne, więc przypadek, w którym wyróżnik jest równy zeru, rozpatrujemy osobno.

Nierówność z ułamkami — mnożenie przez wyrażenie dodatnie

W tym wariancie zmienne występują w mianownikach, a z założenia wiemy, że są dodatnie. Zgodnie z twierdzeniem o metodzie nierówności równoważnych mnożymy obie strony przez wspólny mianownik — wyrażenie dodatnie, więc zwrot nierówności się nie zmienia:

u\ge v\iff wu\ge wv

Ta równoważność zachodzi dla w>0, np. dla w=ab(a+b), gdy a>0 i b>0. Po wymnożeniu i uporządkowaniu zwykle otrzymujemy kwadrat różnicy, np. (a-b)^2\ge 0. Zamiast mnożyć, możemy też przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i sprowadzić je do wspólnego mianownika — wtedy oceniamy znaki licznika i mianownika.

W tym zadaniu jest jedna zmienna — dodatnia z założenia — i występuje ona w mianowniku, więc mnożymy przez nią obie strony bez zmiany zwrotu nierówności.

Tutaj lewa strona jest iloczynem sumy dwóch liczb i sumy ich odwrotności — po wymnożeniu nawiasów mnożymy jeszcze obie strony przez dodatni iloczyn tych liczb.

Tutaj po pomnożeniu przez dodatni iloczyn mianowników nie otrzymujemy kwadratu — o prawdziwości nierówności decyduje założenie porównujące dwie z trzech dodatnich zmiennych.

Rozkład na czynniki i znak iloczynu

W tym wariancie przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i rozkładamy otrzymane wyrażenie na czynniki — grupując wyrazy, wyłączając wspólny czynnik przed nawias albo korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Znak iloczynu ustalamy ze znaków czynników, które wynikają z założeń:

\begin{aligned}u>0\ \land\ v>0&\Rightarrow uv>0\\ u<0\ \land\ v<0&\Rightarrow uv>0\end{aligned}

W tym zadaniu założenie ogranicza obie zmienne z góry tą samą liczbą, a wyrazy da się pogrupować w iloczyn dwóch czynników, których znaki wynikają z założenia.

Tutaj obie zmienne są nieujemne, a nierówność jest trzeciego stopnia. Po rozkładzie jednym z czynników jest kwadrat różnicy — jest nieujemny, więc nie zmienia znaku iloczynu i wystarczy zbadać pozostały czynnik.

Tutaj wyrażenie jest już iloczynem, więc wystarczy ustalić znak każdego czynnika dla liczb spełniających założenie.

Łączenie nierówności z założenia

W tym wariancie założenie składa się z jednej lub kilku nierówności, z których budujemy tezę. Nierówności o tym samym zwrocie możemy dodawać stronami:

u>v\ \land\ s>t\ \Rightarrow\ u+s>v+t

W tym zadaniu założenie składa się z dwóch nierówności z trzema zmiennymi — dodajemy je stronami i porządkujemy otrzymaną nierówność.

Tutaj najpierw przekształcamy tezę do prostszej postaci, a potem korzystamy z podanego w założeniu uporządkowania trzech liczb dodatnich.

Tutaj założenie porównuje jedną zmienną z wielokrotnością drugiej, a obie zmienne są dodatnie. Wyrażenie szacujemy od dołu, zastępując zmienną jej ograniczeniem — wyrażenie rośnie razem z tą zmienną.

Wykorzystanie równości z założenia

W tym wariancie założeniem jest równość, np. x+y+z=0, a tezę dowodzimy, wstawiając ją do odpowiedniego wzoru. Przydaje się wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników:

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)

Z tego wzoru wyznaczamy szukaną sumę iloczynów i oceniamy jej znak, wiedząc, że suma kwadratów jest nieujemna. Równość z założenia możemy też wykorzystać do wyznaczenia jednej zmiennej, np. z=-x-y, i podstawić ją do tezy.

Uzasadnij, że jeśli x > √(10), to (x+3)(x+2)(x-3)>0.

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia