Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja

Ten typ obejmuje postaci $|x-b|<c$|x-b|<c, $|x-b|\le c$|x-b|\le c, $|x-b|>c$|x-b|>c lub $|x-b|\ge c$|x-b|\ge c, gdzie $c>0$c>0. Korzystamy z tego, że różnicy $|x-b|$|x-b| jest odległością liczb $x$x i $b$b na . Z :

Dla nierówności nieostrych końce przedziałów należą do zbioru rozwiązań. Nierówność możemy też rozwiązać algebraicznie, z :

Tu $w$w oznacza wyrażenie z niewiadomą, np. $x-b$x-b.

W tym wariancie znamy nierówność i wskazujemy jej zbiór rozwiązań na rysunku osi liczbowej. Przekształcamy nierówność tak, aby pod wartością bezwzględną stała różnica $x-b$x-b, odczytujemy środek $b$b i — zgodnie z — odkładamy od niego w obie strony odległość $c$c:

Na rysunku sprawdzamy, czy końce są zaznaczone pełnymi kółkami (nierówność nieostra), czy pustymi (nierówność ostra), oraz czy zaznaczono przedział, czy sumę dwóch przedziałów nieograniczonych.

W tym zadaniu pod wartością bezwzględną stoi różnica, więc środek odczytujemy wprost. Nierówność jest ostra ze znakiem $<$<, więc zbiorem rozwiązań jest przedział otwarty, a nie suma przedziałów.

Tutaj pod wartością bezwzględną stoi suma, więc zapisujemy ją jako różnicę z liczbą przeciwną — środek przedziału jest liczbą ujemną.

Tutaj nierówność jest nieostra ze znakiem $\ge$\ge, więc zbiorem rozwiązań jest suma dwóch przedziałów nieograniczonych, do których należą końce.

W tym wariancie znamy zbiór — przedział albo sumę dwóch przedziałów nieograniczonych, zapisane symbolem lub zaznaczone na — i szukamy nierówności, której jest on zbiorem rozwiązań. Środek $b$b i odległość $c$c obliczamy z końców $l<r$l<r zbioru:

Przedział ograniczony odpowiada nierówności ze znakiem $<$< lub $\le$\le, a suma przedziałów nieograniczonych — ze znakiem $>$> lub $\ge$\ge. O tym, czy nierówność jest ostra, decyduje to, czy końce należą do zbioru.

W tym zadaniu zbiorem jest przedział domknięty, więc szukamy nierówności nieostrej ze znakiem $\le$\le. Środek i odległość obliczamy z końców przedziału.

Tutaj na osi zaznaczono sumę dwóch przedziałów nieograniczonych, więc szukamy nierówności ze znakiem $>$>; środek i odległość obliczamy z końców luki między przedziałami.

Tutaj środek zbioru i odległość końców od środka nie są liczbami całkowitymi, więc obliczamy je ze wzorów, zamiast odczytywać z rysunku.

W tym wariancie interesują nas konkretne liczby spełniające nierówność. Najpierw wyznaczamy zbiór rozwiązań z lub algebraicznie:

Potem wypisujemy lub sprawdzamy liczby; w przedziale otwartym końce nie są rozwiązaniami. Zadania, w których szukamy liczb spełniających nierówność liniową bez wartości bezwzględnej, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu liczymy wszystkie liczby całkowite należące do zbioru rozwiązań — jest nim przedział otwarty, więc jego końców nie liczymy.

Tutaj zbiór rozwiązań jest sumą przedziałów, a szukamy najmniejszego rozwiązania dodatniego, więc patrzymy tylko na przedział nieograniczony z prawej strony.

Tutaj sprawdzamy, którą z podanych nierówności spełnia liczba $\pi$\pi — zamiast rozwiązywać każdą nierówność, podstawiamy przybliżenie tej liczby.