Trapez

Ten typ obejmuje zadania o , czyli czworokącie o co najmniej jednej parze boków równoległych — podstawach $a$a i $b$b. Odległość między podstawami to wysokość trapezu $h$h, a pole obliczamy ze :

Równoległość podstaw sprawia, że przekątna tworzy z podstawami równe , a kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do $180^\circ$180^\circ. Zadania dotyczące trapezu równoramiennego zostały zebrane w osobnym typie , a zadania z trapezem prostokątnym — w typie .

W tym wariancie przekątne trapezu $ABCD$ABCD o podstawach $AB$AB i $CD$CD przecinają się w punkcie $S$S. Z trójkąty $ABS$ABS i $CDS$CDS mają równe kąty, więc z , czyli kąt-kąt-kąt, są w skali:

W tej samej skali są wysokości tych trójkątów poprowadzone z punktu $S$S i ich obwody, a z pola są w stosunku $k^2$k^2. Inne zadania o trójkątach podobnych w trapezie zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu skala wynika ze stosunku odcinków jednej przekątnej, a szukamy pola mniejszego trójkąta.

Tutaj skalę wyznaczamy ze stosunku obwodów trójkątów, a ich wysokości poprowadzone z punktu przecięcia przekątnych dają razem wysokość trapezu.

Tutaj nie potrzebujemy podobieństwa: trójkąty o wspólnej podstawie i wierzchołkach na drugiej podstawie trapezu mają równe wysokości, więc równe pola, a po odjęciu ich wspólnej części otrzymujemy równe pola trójkątów przy ramionach.

W tym wariancie znamy podstawy trapezu i kąty, jakie ramiona tworzą z dłuższą podstawą. Wysokości poprowadzone z końców krótszej podstawy odcinają dwa trójkąty prostokątne, a pomiędzy nimi zostaje prostokąt, więc dłuższa podstawa jest sumą krótszej podstawy i rzutów obu ramion. Gdy kąty mają miary $30^\circ$30^\circ, $45^\circ$45^\circ lub $60^\circ$60^\circ, rzuty ramion wyrażamy przez wysokość z i :

Tutaj $x$x oznacza rzut ramienia na dłuższą podstawę przy kącie o podanej mierze. Z równania $a=b+x_1+x_2$a=b+x_1+x_2, w którym $a$a to dłuższa podstawa, a $b$b — krótsza, obliczamy wysokość $h$h.

W tym wariancie obliczamy kąt trapezu. Kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do $180^\circ$180^\circ, a przekątna tworzy z podstawami równe kąty naprzemianległe. Równość odcinków podana w treści oznacza trójkąt równoramienny, w którym z kąty przy podstawie są równe, a resztę kątów obliczamy z . Zadania o kątach innych wielokątów zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu przekątna jest prostopadła do ramienia, więc najpierw obliczamy kąt w powstałym trójkącie prostokątnym.

W tym wariancie korzystamy ze : zapisujemy z niego równanie albo zależność między wymiarami figury.

W tym zadaniu podstawy zmieniają się o dany procent, a pole ma się nie zmienić, więc zapisujemy równość pól przed zmianą i po niej i obliczamy, jaką częścią dawnej wysokości jest nowa.

Tutaj odcinek równoległy do podstaw dzieli trapez na dwa trapezy, więc z sumy ich pól otrzymujemy zależność między wymiarami prostokąta, a jego największe pole wyznaczamy jak w zadaniach zebranych w osobnym typie .