Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)

Ten typ obejmuje zadania, w których przekształcamy : dodajemy i mnożymy sumy algebraiczne, rozkładamy je na czynniki, wyznaczamy zmienną ze wzoru, obliczamy wartość wyrażenia i sprawdzamy, czy liczba spełnia równanie. Korzystamy z ; mnożąc sumy, mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej, a potem redukujemy wyrazy podobne:

Zadania wykorzystujące zostały zebrane w osobnym typie , a zadania z — w typie .

W tym wariancie dodajemy, odejmujemy lub mnożymy wielomiany albo sumy algebraiczne zgodnie z . Opuszczamy nawiasy — przed nawiasem poprzedzonym minusem zmieniamy znaki wszystkich wyrazów — mnożymy każdy wyraz przez każdy i redukujemy wyrazy podobne. Mnożąc potęgi tej samej zmiennej, dodajemy wykładniki:

Zadania, w których z równości wielomianów wyznaczamy ich współczynniki, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu dodajemy dwa wielomiany: dodajemy wyrazy z tą samą potęgą zmiennej, a część z nich się redukuje.

Tutaj mnożymy dwie sumy algebraiczne zawierające różne potęgi zmiennej, więc każdy wyraz pierwszej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej i dodajemy wykładniki.

Tutaj od jednego wielomianu odejmujemy iloczyn dwóch innych, więc najpierw wymnażamy ten iloczyn, a potem bierzemy go w nawias i zmieniamy znaki wszystkich jego wyrazów.

W tym wariancie zapisujemy sumę jako iloczyn, czyli dokonujemy . Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias, a gdy nie mają go wszystkie wyrazy, grupujemy je w pary o wspólnym czynniku:

Otrzymany rozkład sprawdzamy, wymnażając czynniki.

W tym zadaniu wszystkie wyrazy mają wspólny czynnik złożony z liczby i zmiennej, więc wyłączamy go przed nawias jednym krokiem.

Tutaj wyrazy nie mają wspólnego czynnika, więc najpierw grupujemy je w pary tak, aby w obu nawiasach powstał ten sam dwumian.

Tutaj wyrażenie ma tylko trzy wyrazy, więc środkowy wyraz rozbijamy na dwa składniki tak, aby po pogrupowaniu w pary wyłączyć przed nawias wspólny dwumian z sześcianem zmiennej.

W tym wariancie przekształcamy wzór, aby wyznaczyć z niego jedną zmienną albo zapisać inną wielkość. Postępujemy jak przy rozwiązywaniu równania, zgodnie z : mnożymy obie strony przez mianownik, przenosimy wyrazy z szukaną zmienną na jedną stronę i wyłączamy ją przed nawias:

Ostatni krok wymaga, by $A\neq C$A\neq C: dzielimy tylko przez wyrażenia różne od zera, co wynika z założeń zadania.

W tym zadaniu szukana zmienna występuje w liczniku i w mianowniku ułamka, więc mnożymy obie strony przez mianownik i zbieramy wyrazy z szukaną zmienną po jednej stronie.

Tutaj zależność między liczbami wynika z dzielenia z resztą: dzielną zapisujemy jako iloczyn ilorazu i dzielnika powiększony o resztę, a potem dzielimy obie strony przez dzielnik.

W tym wariancie obliczamy : podstawiamy liczby w miejsce zmiennych i wykonujemy działania w odpowiedniej kolejności.

W tym zadaniu wyrażenie jest ilorazem, a jedna ze zmiennych jest ułamkiem, więc po podstawieniu upraszczamy ułamek piętrowy.

Tutaj nie znamy wartości zmiennych, tylko zależność między nimi. Wyrażamy jedną zmienną przez drugą albo zapisujemy wyrażenie za pomocą ilorazu $\displaystyle \frac{x}{y}$\displaystyle \frac{x}{y}, który wynika z tej zależności.

Tutaj znamy tylko znaki zmiennych, więc ustalamy znak każdego wyrażenia: kwadrat liczby jest nieujemny, a suma dwóch liczb ujemnych jest ujemna.

W tym wariancie sprawdzamy, czy dana liczba jest , czyli jego rozwiązaniem: należy do dziedziny i po podstawieniu w miejsce niewiadomej obie strony są równe. Gdy w treści jest kilka równań, podstawiamy liczbę do każdego z nich; liczba zerująca mianownik nie jest rozwiązaniem równania wymiernego.