Materiały edukacyjne z matematyki

$logo$

Ten typ obejmuje zadania z poziomu rozszerzonego, w których badamy położenie prostej względem okręgu i wyznaczamy . Środek $S=(x_S,y_S)$ i promień $r$ odczytujemy z równania :

(x-x_S)^2+(y-y_S)^2=r^2

Najważniejsze jest : prosta $k$ jest styczna do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jej odległość od środka jest równa promieniowi; promień poprowadzony do punktu styczności $P$ jest wtedy prostopadły do stycznej:

\begin{aligned}d(S,k)&=r\\ SP&\perp k\end{aligned}

Odległość $d(S,k)$ obliczamy z , a prostopadłość prostych sprawdzamy z . Zadania z matury podstawowej o stycznych do okręgu zostały zebrane w osobnym typie Styczna do okręgu.

Uwaga

Styczne pionowe

Prostą przechodzącą przez dany punkt $(x_0,y_0)$ zapisujemy zwykle w postaci $y=a(x-x_0)+y_0$ . Ta postać nie obejmuje prostej pionowej $x=x_0$ , dlatego szukając stycznych przechodzących przez punkt, sprawdzamy ją osobno — jest styczna, gdy $|x_0-x_S|=r$ .

Wzajemne położenie prostej i okręgu

W tym wariancie sprawdzamy, ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem. Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej, obliczoną z , z promieniem $r$ : gdy $d<r$ , prosta przecina okrąg w dwóch punktach, gdy $d=r$ — jest styczna, a gdy $d>r$ , nie ma z okręgiem punktów wspólnych. Równoważnie możemy podstawić równanie prostej do równania okręgu i zbadać liczbę rozwiązań otrzymanego równania kwadratowego.

W tym zadaniu podane proste to osie układu oraz proste $y=x$ i $y=-x$ , więc odległość środka od osi odczytujemy wprost z jego współrzędnych.

Wczytywanie zadania

Styczne o danym kierunku

W tym wariancie szukamy stycznych równoległych lub prostopadłych do danej prostej. Z warunku równoległości albo z znamy współczynnik kierunkowy $a$ stycznej, więc szukamy jej w postaci $y=ax+b$ . Warunek $d(S,k)=r$ daje równanie z wartością bezwzględną i niewiadomą $b$ , które ma dwa rozwiązania — po jednej stycznej z każdej strony okręgu. Równoważnie podstawiamy $y=ax+b$ do równania okręgu i żądamy, by otrzymane równanie kwadratowe miało jedno rozwiązanie, czyli $\Delta=0$ .

W tym zadaniu okrąg jest dany w , więc najpierw sprowadzamy jego równanie do postaci kanonicznej, uzupełniając wyrażenia do pełnych kwadratów.

Wczytywanie zadania

Promień i punkt styczności dla danej stycznej

W tym wariancie znamy środek okręgu i prostą styczną, a szukamy promienia lub punktu styczności. Z promień jest odległością środka od stycznej, a promień poprowadzony do punktu styczności jest do niej prostopadły. Punkt styczności leży więc na prostej prostopadłej do stycznej i przechodzącej przez środek okręgu — wyznaczamy go, rozwiązując układ równań tej prostej i stycznej. Zadania, w których obliczamy tylko promień okręgu stycznego do danej prostej, zostały zebrane w typie Odległość punktu od prostej.

W tym zadaniu styczną wyznaczają dwa dane punkty, więc najpierw zapisujemy jej równanie, a środkiem okręgu jest początek układu współrzędnych.

Wczytywanie zadania

Dwie styczne poprowadzone z jednego punktu

W tym wariancie z punktu $A$ leżącego poza okręgiem prowadzimy dwie styczne o punktach styczności $B$ i $C$ . Z $|AB|=|AC|$ , a promienie $SB$ i $SC$ są prostopadłe do stycznych, więc czworokąt $ABSC$ składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych. Z w każdym z nich:

|AS|^2=|AB|^2+r^2

W tym zadaniu znamy pole czworokąta utworzonego przez styczne i promienie, więc najpierw obliczamy długość odcinka stycznej. Środek okręgu leży na danej prostej, więc jego współrzędne zapisujemy za pomocą jednej zmiennej.

Wczytywanie zadania