Wartość wyrażenia jest równa
512512512512
0000
−243-24\sqrt{3}−243-24\sqrt{3}
−1923-192\sqrt{3}−1923-192\sqrt{3}
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych / obliczanie wartości wyrażenia
Granice i są równe. Stąd wynika, że
a=0a=0a=0a=0 i b=0b=0b=0b=0
∣a∣=1|a|=1∣a∣=1|a|=1 i ∣b∣=0|b|=0∣b∣=0|b|=0
∣a∣=1|a|=1∣a∣=1|a|=1 i ∣b∣=1|b|=1∣b∣=1|b|=1
a=0a=0a=0a=0 i ∣b∣=1|b|=1∣b∣=1|b|=1
Granica ciągu
Wektory oraz mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy
m=0m=0m=0m=0 lub m=4m=4m=4m=4
m=0m=0m=0m=0 lub m=2m=2m=2m=2
m=2m=2m=2m=2
m=2m=2m=2m=2 lub m=4m=4m=4m=4
Wektory
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej . Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji .
f(x)=2sin(2x)f(x)=2\sin\left(2x\right)f(x)=2sin(2x)f(x)=2\sin\left(2x\right)
f(x)=2π⋅sin(2x)f(x)=2\pi \cdot \sin\left(2x\right)f(x)=2π⋅sin(2x)f(x)=2\pi \cdot \sin\left(2x\right)
f(x)=2sin(x2)\displaystyle f(x)=2\sin\left( \frac{x}{2} \right)f(x)=2sin(2x)\displaystyle f(x)=2\sin\left( \frac{x}{2} \right)
f(x)=2π⋅sin(x2)\displaystyle f(x)=2\pi \cdot \sin\left( \frac{x}{2} \right)f(x)=2π⋅sin(2x)\displaystyle f(x)=2\pi \cdot \sin\left( \frac{x}{2} \right)
Przekształcenia funkcji - powinowactwo
Wynikiem dzielenia wielomianu przez dwumian jest trójmian kwadratowy postaci . Wyznacz wartości współczynników oraz .
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Niech . Wykaż, że .
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Dany jest trójkąt . Na boku tego trójkąta obrano punkty i tak, że . Na bokach i obrano – odpowiednio – punkty i tak, że oraz (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta jest równe , to pole trójkąta jest równe .
Dowodzenie w planimetrii
Rozwiąż równanie w przedziale .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
Dane są prosta o równaniu i prosta o równaniu . Punkt leży na prostej o równaniu . Odległość punktu od prostej jest dwa razy większa niż odległość punktu od prostej . Oblicz współrzędne punktu .
Odległość punktu od prostej
Dany jest sześcian o krawędzi długości . Punkt jest środkiem krawędzi (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta .
Sześcian
W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Równania wielomianowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Dana jest funkcja określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Oblicz wartość , dla której prosta o równaniu jest styczna do wykresu funkcji .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Na okręgu jest opisany czworokąt . Bok tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku , a przekątna ma długość równą . Ponadto spełnione są następujące warunki:
Oblicz długość boku tego czworokąta.
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej i obwodzie równym . Niech .
Wykaż, że pole trójkąta jako funkcja zmiennej jest określone wzorem
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Optymalizacja w planimetrii
