Formuła 2015
Odległość punktu od prostej o równaniu jest równa
713\displaystyle \frac{7}{13} 137\displaystyle \frac{7}{13}
712\displaystyle \frac{7}{12} 127\displaystyle \frac{7}{12}
512\displaystyle \frac{5}{12} 125\displaystyle \frac{5}{12}
1213\displaystyle \frac{12}{13} 1312\displaystyle \frac{12}{13}
Odległość punktu od prostej
Równanie w zbiorze liczb rzeczywistych
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dokładnie dwa rozwiązania.
ma dokładnie cztery rozwiązania
Równanie z wartością bezwzględną
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Zbiorem wartości funkcji jest przedział
[−2,+∞)[-2,+\infty)[−2,+∞)[-2,+\infty)
[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)[0,+\infty)
[3,+∞)[3,+\infty)[3,+∞)[3,+\infty)
[5,+∞)[5,+\infty)[5,+∞)[5,+\infty)
Przekształcenia funkcji - przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Granica jest równa . Wtedy
a=3a=3a=3a=3
a=9a=9a=9a=9
a=15a=15a=15a=15
a=21a=21a=21a=21
Granica ciągu
Wielomian jest iloczynem wielomianów oraz . Oblicz wartości współczynników oraz .
Równość wielomianów i wyznaczanie współczynników wielomianu
Wykaż, że jeżeli oraz , to .
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Dany jest czworokąt wypukły . Przekątne oraz tego czworokąta przecinają się w punkcie . Wykaż, że jeżeli , to na czworokącie można opisać okrąg.
Dowodzenie w planimetrii
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.
Kombinatoryka - parzystość/nieparzystość (liczb, cyfr lub iloczynu cyfr)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt , o pierwszej współrzędnej równej , należy do wykresu funkcji . Prosta o równaniu jest styczna do wykresu funkcji w punkcie .Oblicz współczynniki oraz w równaniu tej stycznej.
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru , losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa . Liczby oraz są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego , określonego dla każdej liczby naturalnej . Oblicz oraz .
Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Rozwiąż równanie
w zbiorze .
Równanie trygonometryczne: podwojony kąt
Promień okręgu opisanego na trójkącie jest równy . Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok , a długości dwóch pozostałych boków są równe oraz . Oblicz miarę kąta oraz długość boku tego trójkąta.
Twierdzenie sinusów i cosinusów
W kartezjańskim układzie współrzędnych środek okręgu o promieniu leży na prostej o równaniu . Przez punkt , którego odległość od punktu jest większa od , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – i . Pole czworokąta jest równe . Oblicz współrzędne punktu . Rozważ wszystkie przypadki.
Styczna do okręgu
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości , których krawędź podstawy ma długość nie większą niż .Wykaż, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
Optymalizacja w stereometrii
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości , których krawędź podstawy ma długość nie większą niż .Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
