Matura (czerwiec 2024, poziom rozszerzony, dodatkowy, Formuła 2023)

W chwili początkowej zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek .

W wyniku tej reakcji masa związku zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością

gdzie:

- masa związku A wyrażona w gramach,

- czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili ),

- współczynniki liczbowe.

Masa początkowa związku (tj. masa w chwili ) była równa gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy ) masa tego związku była równa jego masy początkowej (zobacz rysunek).

Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało masy początkowej tego związku.

Oblicz granicę

Funkcja 𝑓 jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt należy do wykresu funkcji .

Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej takich, że , prawdziwa jest nierówność

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe oraz , przy czym . W ten trapez można wpisać okrąg.

Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od .

Nieskończony ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Suma wszystkich wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa , tj.

Ponadto .

Wyznacz wzór ogólny na ty wyraz ciągu .

W okrąg o promieniu wpisano trójkąt . Długość boku jest równa . Bok ma długość i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku trójkąta .

Rozwiąż równanie

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy .

Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Prosta o równaniu przecina parabolę o równaniu w punktach oraz , które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku . Wierzchołek ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek leży na prostej o równaniu i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu od prostej zawierającej bok równoległoboku jest równa .

Oblicz długość boku tego równoległoboku.

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości ostrosłupa oraz promienia okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa .

Wykaż, że objętość każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości ostrosłupa oraz promienia okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

Objętość ostrosłupa w zależności od długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

dla .

Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.