Matura (czerwiec 2017, poziom podstawowy, dodatkowy, (nowa formuła))

Liczba jest równa

Iloczyn dodatnich liczb i jest równy . Ponadto liczby jest równe liczby . Stąd wynika, że jest równe

Suma jest równa

Liczba jest równa

Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie jest równe

Wartość wyrażenia dla i jest równa

Funkcja liniowa jest określona wzorem . Miejscem zerowym funkcji jest

Rozwiązaniem układu równań z niewiadomymi i jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem oraz . Współczynnik jest równy

Równanie ma dokładnie

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji należy do prostej o równaniu

Punkt należy do wykresu funkcji określonej wzorem

W ciągu arytmetycznym , określonym dla , spełniony jest warunek . Różnica tego ciągu jest równa

Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach nieujemnych. Wtedy

Kąt jest ostry i . Wówczas jest równy

W okręgu o środku dany jest kąt wpisany o mierze (patrz rysunek).

Miara kąta jest równa

Odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta ostrego trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne i mają długości odpowiednio i .

Wówczas miara kąta spełnia warunek

Prosta przechodząca przez punkt i początek układu współrzędnych jest prostopadła do prostej o równaniu

Punkty i są końcami odcinka . Obrazem tego odcinka w symetrii względem osi układu współrzędnych jest odcinek . Środkiem odcinka jest punkt o współrzędnych

Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali , przy czym . Stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe . Długość boku tego trójkąta jest równa

Pole trójkąta prostokątnego , przedstawionego na rysunku, jest równe

Długość przekątnej sześcianu jest równa . Stąd wynika, że pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Pole powierzchni bocznej walca jest równe , a promień jego podstawy ma długość . Wysokość tego walca jest równa

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania pary liczb, których iloczyn jest większy od , jest równe

Rozwiąż nierówność .

Kąt jest ostry i spełniona jest równość . Oblicz wartość wyrażenia .

Dwusieczna kąta ostrego przecina przyprostokątną trójkąta prostokątnego w punkcie .

Udowodnij, że jeżeli , to .

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego , określonego dla , jest równa . Ponadto . Oblicz różnicę tego ciągu.

Ze zbioru liczb losujemy bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę , gdzie jest wynikiem pierwszego losowania, jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par , takich, że iloczyn jest liczbą parzystą.

Ramię trapezu równoramiennego ma długość . Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku . Oblicz pole tego trapezu.

Punkty i są wierzchołkami trójkąta równoramiennego , w którym . Wysokość tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka tego trójkąta.

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb . Przekątna tego graniastosłupa ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem , a przekątna jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.