(nowa formuła)
Funkcja określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej. Zbiorem wartości funkcji jest
(2,+∞)\left(2,+\infty\right)(2,+∞)\left(2,+\infty\right)
[1,3]\left[1,3\right][1,3]\left[1,3\right]
[−1,+∞)\left[-1,+\infty\right)[−1,+∞)\left[-1,+\infty\right)
(0,+∞)\left(0,+\infty\right)(0,+∞)\left(0,+\infty\right)
Funkcja wykładnicza
Wartość wyrażenia jest równa
−12\displaystyle - \frac{1}{2} −21\displaystyle - \frac{1}{2}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
−32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2 } −23\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2 }
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
Funkcje trygonometryczne nietypowych kątów
W trapezie o podstawach i dane są: , , oraz (zobacz rysunek).
Wówczas długość podstawy tego trapezu jest równa
∣AB∣=18|AB|=18∣AB∣=18|AB|=18
∣AB∣=20|AB|=20∣AB∣=20|AB|=20
∣AB∣=22|AB|=22∣AB∣=22|AB|=22
∣AB∣=24|AB|=24∣AB∣=24|AB|=24
Podobieństwo trójkątów
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy
33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Granica jest równa
−∞-\infty−∞-\infty
−74\displaystyle - \frac{7}{4} −47\displaystyle - \frac{7}{4}
0000
+∞+\infty+∞+\infty
Granica ciągu
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny określony dla , w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Wyznacz pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.
Szereg geometryczny
Dane są zdarzenia losowe takie, że i . Oblicz , gdzie zdarzenie oznacza różnicę zdarzeń i . Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Działania na zdarzeniach
Wykaż, że dla prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Rozwiąż nierówność .
Nierówności z wartością bezwzględną
Dany jest ciąg określony dla każdej liczby całkowitej , w którym oraz dla każdej liczby prawdziwa jest równość . Oblicz pierwszy wyraz ciągu i ustal, czy ciąg ten jest malejący.
Ciągi rekurencyjne
Dany jest sześcian . Przez wierzchołki i oraz środek krawędzi poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną w punkcie (zobacz rysunek).
Wykaż, że .
Sześcian
Liczba jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania
Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem .
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozwiąż nierówność w przedziale .
Nierówności trygonometryczne
W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy . Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.
Równanie trygonometryczne: jedynka trygonometryczna
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.
Kombinatoryka - parzystość/nieparzystość (liczb, cyfr lub iloczynu cyfr)
Punkty i są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego , a wysokość opuszczona z wierzchołka tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu . Oblicz współrzędne wierzchołka .
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe . Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.
Optymalizacja w stereometrii
