Formuła 2015
Wielomian jest określony wzorem .We wzorze ogólnym tego wielomianu współczynnik jest równy
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
10101010
12121212
14141414
Równość wielomianów i wyznaczanie współczynników wielomianu
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem . Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .Wykres funkcji kwadratowej można otrzymać poprzez przesunięcie równoległe wykresu funkcji o wektor
[−1,0]\left[-1,0\right][−1,0]\left[-1,0\right]
[1,0]\left[1,0\right][1,0]\left[1,0\right]
[−1,1]\left[-1,1\right][−1,1]\left[-1,1\right]
[1,−1]\left[1,-1\right][1,−1]\left[1,-1\right]
Przekształcenia funkcji - przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Zbiorem wszystkich wartości , dla których równanie z niewiadomą ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste, jest
[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)[0,+\infty)
(14,+∞)\displaystyle \left( \frac{1}{4},+\infty \right)(41,+∞)\displaystyle \left( \frac{1}{4},+\infty \right)
[14,+∞)\displaystyle \left[ \frac{1}{4},+\infty \right)[41,+∞)\displaystyle \left[ \frac{1}{4},+\infty \right)
{0}∪(14,+∞)\displaystyle \left\{0\right\}\cup\left( \frac{1}{4},+\infty \right){0}∪(41,+∞)\displaystyle \left\{0\right\}\cup\left( \frac{1}{4},+\infty \right)
Równanie z wartością bezwzględną
Granica jest równa
(−∞)\left(-\infty\right)(−∞)\left(-\infty\right)
+∞+\infty+∞+\infty
1111
Granica funkcji
W każdym z dwóch pudełek jest kul. W pierwszym pudełku są kule białe i kul czarnych, a w drugim jest kul białych i kule czarne. Rzucamy sześcienną symetryczną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu oczek. Jeżeli wypadnie pięć lub sześć oczek, to losujemy jedną kulę z pierwszego pudełka, w przeciwnym przypadku losujemy jedną kulę z drugiego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Prawdopodobieństwo całkowite
Wykaż, że jeżeli oraz , to .
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Dany jest prostokąt , w którym . Na bokach , , oraz tego prostokąta obrano punkty – odpowiednio – , , oraz (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ). Czworokąt jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość tego trapezu jest równoległa do przekątnej prostokąta.
Wykaż, że stosunek pola trójkąta do pola trójkąta jest równy .
Dowodzenie w planimetrii
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozwiąż równanie
w przedziale .
Równanie trygonometryczne: suma/różnica sinusów/cosinusów
Na czworokącie wypukłym o bokach długości: , , oraz , opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu.
Okrąg wpisany i opisany na czworokącie
Wielomian zmiennej rzeczywistej jest określony wzorem , gdzie . Liczba jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych styczna do wykresu wielomianu w punkcie o pierwszej współrzędnej równej przecina ten wykres w punkcie .
Wyznacz wzór wielomianu .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu oraz . Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest geometryczny i oraz .
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu .
Szereg geometryczny
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie . Płaszczyzna zawierająca krawędź podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej przecina tę krawędź w punkcie , przy czym .
Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy .
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok o wierzchołkach i oraz środku symetrii . Okrąg przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki i tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu jest liczbą ujemną.
Wyznacz równanie okręgu .
Równoległobok w układzie współrzędnych
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym .
Wykaż, że objętość graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy jest określona wzorem
dla .
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Optymalizacja w stereometrii
