Różnica jest równa
−1-1−1-1
−32\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2} −23\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}
−12\displaystyle - \frac{1}{2} −21\displaystyle - \frac{1}{2}
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
Funkcje trygonometryczne nietypowych kątów
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji określonej dla każdej liczby rzeczywistej .
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji .
f(x)=cosx+1∣cosx∣+1\displaystyle f(x)= \frac{\cos x+1}{|\cos x|+1} f(x)=∣cosx∣+1cosx+1\displaystyle f(x)= \frac{\cos x+1}{|\cos x|+1}
f(x)=sinx+1∣sinx∣+1\displaystyle f(x)= \frac{\sin x+1}{|\sin x|+1} f(x)=∣sinx∣+1sinx+1\displaystyle f(x)= \frac{\sin x+1}{|\sin x|+1}
f(x)=∣cosx∣−2cosx−2\displaystyle f(x)= \frac{|\cos x|-2}{\cos x-2} f(x)=cosx−2∣cosx∣−2\displaystyle f(x)= \frac{|\cos x|-2}{\cos x-2}
f(x)=∣sinx∣−2sinx−2\displaystyle f(x)= \frac{|\sin x|-2}{\sin x-2} f(x)=sinx−2∣sinx∣−2\displaystyle f(x)= \frac{|\sin x|-2}{\sin x-2}
Własności i wykresy funkcji trygonometrycznych
Wielomian jest podzielny przez
x−3x-3x−3x-3
x2+9x^2+9x2+9x^2+9
x2−32x+9x^2-3\sqrt{2}x+9x2−32x+9x^2-3\sqrt{2}x+9
x2+32x−9x^2+3\sqrt{2}x-9x2+32x−9x^2+3\sqrt{2}x-9
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Liczba różnych pierwiastków równania jest równa
0000
1111
2222
3333
Równanie z wartością bezwzględną
Oblicz granicę
Granica ciągu
Niech . Wykaż, że .
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Rozwiąż nierówność:
Nierówność wymierna
Dany jest trójkąt równoboczny . Na bokach i wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).
Wykaż, że pole trójkąta jest razy mniejsze od pola trójkąta .
Dowodzenie w planimetrii
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez , jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez .
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prosta przechodząca przez punkty i jest styczna do okręgu o środku w punkcie . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą .
Styczna do okręgu
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójmian kwadratowy
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste oraz , spełniające warunki:
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Rozwiąż równanie w przedziale .
Równanie trygonometryczne: sinus/cosinus sumy/różnicy kątów
Dany jest trójkąt prostokątny . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta , który ma większą miarę.
Okrąg wpisany i opisany na trójkącie
Dane są parabola o równaniu oraz punkty i (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty , których wierzchołek leży na tej paraboli. Niech oznacza pierwszą współrzędną punktu .
Wyznacz pole trójkąta jako funkcję zmiennej .
Wyznacz wszystkie wartości , dla których trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny.
Trójkąt w układzie współrzędnych
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
zł za dna
zł za ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Optymalizacja w stereometrii
