Formuła 2023
Liczba jest równa
(−16)\left(-16\right)(−16)\left(-16\right)
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
2222
4444
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
log33118\displaystyle \log_{3}{ \frac{31}{18} }log31831\displaystyle \log_{3}{ \frac{31}{18} }
log3511\displaystyle \log_{3}{ \frac{5}{11} }log3115\displaystyle \log_{3}{ \frac{5}{11} }
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
Logarytmy - podstawowe własności i działania
22222222
42424242
42+4542+4\sqrt{5}42+4542+4\sqrt{5}
42+8542+8\sqrt{5}42+8542+8\sqrt{5}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
K0⋅(1,06)3K_0 \cdot \left(1{,}06\right)^{3 }K0⋅(1,06)3K_0 \cdot \left(1{,}06\right)^{3 }
K0⋅(1,02)3K_0 \cdot \left(1{,}02\right)^{3 }K0⋅(1,02)3K_0 \cdot \left(1{,}02\right)^{3 }
K0⋅(1,03)6K_0 \cdot \left(1{,}03\right)^{6 }K0⋅(1,03)6K_0 \cdot \left(1{,}03\right)^{6 }
K0⋅1,18K_0 \cdot 1{,}18K0⋅1,18K_0 \cdot 1{,}18
Lokaty i kredyty (procent składany)
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności
jest równa
3333
5555
6666
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Układ równań
nie ma rozwiązań.
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
ma dokładnie dwa rozwiązania.
ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układy równań liniowych
Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od: i , wartość wyrażenia
jest równa wartości wyrażenia
2x+22x+22x+22x+2
2xx−1\displaystyle \frac{2x}{x-1} x−12x\displaystyle \frac{2x}{x-1}
2xx2−1\displaystyle \frac{2x}{x^2-1} x2−12x\displaystyle \frac{2x}{x^2-1}
2x3+1x3−1\displaystyle \frac{2x^3+1}{x^{3}-1} x3−12x3+1\displaystyle \frac{2x^3+1}{x^{3}-1}
Wyrażenia wymierne
Wielomian jest iloczynem wielomianów oraz .
Suma współczynników wielomianu jest równa
Równość wielomianów i faktoryzacja
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji . Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu ma obie współrzędne całkowite.
Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności .
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Na następnym rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych , przedstawiono wykres funkcji , powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji wzdłuż osi o jednostki w lewo.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.
Funkcje i są powiązane zależnością
A)
B)
C)
oraz mają takie same
1) dziedziny
2) zbiory wartości
A,1
A,2
B,1
B,2
C,1
C,2
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Funkcja jest określona za pomocą tabeli
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
P
F
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji jest symetryczny względem osi .
Odczytywanie własności z tabeli wartości
Liczba jest miejscem zerowym funkcji liniowej .
0000
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej , ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne: oraz .
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem .
Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych , fragment wykresu funkcji .
Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Rozpoznawanie (i rysowanie) wykresu funkcji kwadratowej na podstawie wzoru
Wykres funkcji przecina oś kartezjańskiego układu współrzędnych w punkcie o współrzędnych .
Miejsca zerowe funkcji są równe: oraz .
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
7777
50505050
100100100100
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Ciąg jest malejący
Ciąg jest geometryczny.
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
W ciągu arytmetycznym , określonym dla każdej liczby naturalnej , dane są wyrazy: oraz .
Wyraz jest równy
(−47)\left(-47\right)(−47)\left(-47\right)
52525252
61616161
67676767
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny. Liczby oraz spełniają warunki
x>0x>0x>0x>0 i y>0y>0y>0y>0
x>0x>0x>0x>0 i y<0y<0y<0y<0
x<0x<0x<0x<0 i y>0y>0y>0y>0
x<0x<0x<0x<0 i y<0y<0y<0y<0
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: charakteryzacja / wzór ogólny / suma
2−sin227∘2-\sin^227^\circ2−sin227∘2-\sin^227^\circ
sin227∘\sin^227^\circsin227∘\sin^227^\circ
2+sin227∘2+\sin^227^\circ2+sin227∘2+\sin^227^\circ
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości: oraz . Wysokość tego trapezu ma długość (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego jest równa
15∘15^\circ15∘15^\circ
30∘30^\circ30∘30^\circ
45∘45^\circ45∘45^\circ
60∘60^\circ60∘60^\circ
Trapez prostokątny
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Długość łuku , na którym jest oparty kąt wpisany , jest równa długości okręgu (zobacz rysunek).
18∘18^\circ18∘18^\circ
36∘36^\circ36∘36^\circ
72∘72^\circ72∘72^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Bok kwadratu ma długość równą . Punkt jest środkiem boku tego kwadratu. Na odcinku leży punkt taki, że odcinek jest prostopadły do odcinka .
Oblicz długość odcinka .
Kwadrat
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o równaniu
Do okręgu należy punkt o współrzędnych .
Promień okręgu jest równy .
Równanie okręgu
Okrąg jest obrazem okręgu w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.
Okrąg jest określony równaniem
(x−1)2+(y+2)2=5(x-1)^2+(y+2)^2=5(x−1)2+(y+2)2=5(x-1)^2+(y+2)^2=5
(x+1)2+(y+2)2=5(x+1)^2+(y+2)^2=5(x+1)2+(y+2)2=5(x+1)^2+(y+2)^2=5
(x−1)2+(y−2)2=5(x-1)^2+(y-2)^2=5(x−1)2+(y−2)2=5(x-1)^2+(y-2)^2=5
(x+1)2+(y−2)2=5(x+1)^2+(y-2)^2=5(x+1)2+(y−2)2=5(x+1)^2+(y-2)^2=5
Obrazy prostych, punktów i okręgów w symetrii osiowej i środkowej
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Symetralna odcinka przecina oś układu współrzędnych w punkcie .
Oblicz współrzędne punktu oraz długość odcinka .
Symetralna odcinka
Ostrosłup prawidłowy ma ściany boczne.
Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
2025202520252025
2026202620262026
4048404840484048
4052405240524052
Liczba wierzchołków, krawędzi i ścian w graniastosłupach i ostrosłupach (+ ew. warunek na pole)
Przekątna ściany sześcianu ma długość . Objętość tego sześcianu jest równa
8888
24242424
1669\displaystyle \frac{16\sqrt{6}}{9} 9166\displaystyle \frac{16\sqrt{6}}{9}
16216\sqrt{2}16216\sqrt{2}
Sześcian
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że (zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa
828\sqrt{2}828\sqrt{2}
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
3,123{,}123,123{,}12
3,53{,}53,53{,}5
4,1(6)4{,}1(6)4,1(6)4{,}1(6)
Średnia arytmetyczna / ważona
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry (np.: , , ), jest
16161616
27272727
54545454
81818181
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest . Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe .
Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa
9999
12121212
15151515
30303030
Prawdopodobieństwo klasyczne
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o zł, wyraża się wzorem
gdzie jest liczbą całkowitą spełniającą warunki i .
Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba jest równa
25252525
45454545
60606060
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy zł, gdy liczba jest równa
Równanie kwadratowe - postać ogólna
