(nowa formuła)
W rozwinięciu wyrażenia współczynnik przy iloczynie jest równy
32332\sqrt{3}32332\sqrt{3}
48484848
96396\sqrt{3}96396\sqrt{3}
144144144144
Wzory skróconego mnożenia: potęga trzeciego stopnia
Wielomian jest podzielny przez dwumian dla równego
4444
−2-2−2-2
2222
−4-4−4-4
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej , której dziedziną jest zbiór .
Równanie z niewiadomą ma dokładnie jedno rozwiązanie
w dwóch przypadkach: p=0p=0p=0p=0 lub p=3p=3p=3p=3.
w dwóch przypadkach: p=0p=0p=0p=0 lub p=2p=2p=2p=2.
tylko wtedy, gdy p=3p=3p=3p=3.
tylko wtedy, gdy p=2p=2p=2p=2.
Funkcja wymierna (homograficzna)
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej . Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
f′(x)=−3x2+2x+12(x2+4)2\displaystyle f'(x)= \frac{-3x^2+2x+12}{\left(x^2+4\right)^2} f′(x)=(x2+4)2−3x2+2x+12\displaystyle f'(x)= \frac{-3x^2+2x+12}{\left(x^2+4\right)^2}
f′(x)=−9x2+2x−12(x2+4)2\displaystyle f'(x)= \frac{-9x^2+2x-12}{\left(x^2+4\right)^2} f′(x)=(x2+4)2−9x2+2x−12\displaystyle f'(x)= \frac{-9x^2+2x-12}{\left(x^2+4\right)^2}
f′(x)=3x2−2x−12(x2+4)2\displaystyle f'(x)= \frac{3x^2-2x-12}{\left(x^2+4\right)^2} f′(x)=(x2+4)23x2−2x−12\displaystyle f'(x)= \frac{3x^2-2x-12}{\left(x^2+4\right)^2}
f′(x)=9x2−2x+12(x2+4)2\displaystyle f'(x)= \frac{9x^2-2x+12}{\left(x^2+4\right)^2} f′(x)=(x2+4)29x2−2x+12\displaystyle f'(x)= \frac{9x^2-2x+12}{\left(x^2+4\right)^2}
Pochodna funkcji
Granica
Wynika stąd, że
p=−8p=-8p=−8p=-8
p=4p=4p=4p=4
p=2p=2p=2p=2
p=−2p=-2p=−2p=-2
Granica ciągu
Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Dany jest ciąg geometryczny określony wzorem dla . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą , dla której nieskończony szereg jest zbieżny.
Szereg geometryczny
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i takich, że , prawdziwa jest nierówność .
Dowodzenie nierówności
Dany jest prostokąt . Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do przekątnej w punkcie . Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boku w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku , jak na rysunku.
Wykaż, że .
Dowodzenie w planimetrii
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wykresy funkcji i , określonych wzorami oraz , przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
Funkcja liniowa
Rozwiąż nierówność
w przedziale .
Nierówności trygonometryczne
Dany jest trójmian kwadratowy . Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru , dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku, spełniające warunek .
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Punkty i są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną . Oblicz współrzędne wierzchołków i tego czworokąta.
Pozostałe wielokąty w układzie współrzędnych
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry , przy czym cyfra występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest .
Kombinatoryka - liczby o narzuconych cyfrach i/lub sumie/iloczynie cyfr.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie wysokość jest równa , a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
Parabola o równaniu przecina oś układu współrzędnych w punktach i . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne , których dłuższą podstawą jest odcinek , a końce i krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka . Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Optymalizacja w geometrii analitycznej
