Formuła 2015
Liczba jest równa
(1,5)15\left(1{,}5\right)^{15}(1,5)15\left(1{,}5\right)^{15}
(1,5)2\left(1{,}5\right)^{2}(1,5)2\left(1{,}5\right)^{2}
3303^{30}3303^{30}
303^{0}303^{0}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej iloczyn jest równy
xxxx
x10\sqrt[10]{x}10x\sqrt[10]{x}
x18\sqrt[18]{x}18x\sqrt[18]{x}
x2x^2x2x^2
Klient wpłacił do banku ł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
2100 zł2100\ \text{zł}2100 zł2100\ \text{zł}
2247 zł2247\ \text{zł}2247 zł2247\ \text{zł}
4200 zł4200\ \text{zł}4200 zł4200\ \text{zł}
4347 zł4347\ \text{zł}4347 zł4347\ \text{zł}
Lokaty i kredyty (procent składany)
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
2222
5555
Logarytmy - podstawowe własności i działania
0000
(−10)\left(-10\right)(−10)\left(-10\right)
454\sqrt{5}454\sqrt{5}
2+252+2\sqrt{5}2+252+2\sqrt{5}
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Do zbioru rozwiązań nierówności należy liczba
(−20)\left(-20\right)(−20)\left(-20\right)
(−23)\left(-23\right)(−23)\left(-23\right)
20202020
23232323
Nierówność wielomianowa - sprawdzanie czy liczba spełnia nierówność
W kartezjańskim układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji (zobacz rysunek).
Dziedziną funkcji jest zbiór
(−3,−1)∪(1,3)\left(-3,-1\right)\cup\left(1,3\right)(−3,−1)∪(1,3)\left(-3,-1\right)\cup\left(1,3\right)
(−3,3)\left(-3,3\right)(−3,3)\left(-3,3\right)
(−5,−1)∪(1,5)\left(-5,-1\right)\cup\left(1,5\right)(−5,−1)∪(1,5)\left(-5,-1\right)\cup\left(1,5\right)
(−5,5)\left(-5,5\right)(−5,5)\left(-5,5\right)
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Zbiorem wartości funkcji jest zbiór
[−3,−1]∪[1,3]\left[-3,-1\right]\cup\left[1,3\right][−3,−1]∪[1,3]\left[-3,-1\right]\cup\left[1,3\right]
(−3,−1)∪(1,3)\left(-3,-1\right)\cup \left(1,3\right)(−3,−1)∪(1,3)\left(-3,-1\right)\cup \left(1,3\right)
[−5,−1]∪[1,5]\left[-5,-1\right]\cup \left[1,5\right][−5,−1]∪[1,5]\left[-5,-1\right]\cup \left[1,5\right]
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wartość funkcji dla argumentu jest równa
6666
10101010
8888
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu przechodzi przez punkty oraz .
Współczynnik w równaniu tej prostej jest równy
(−4)\left(-4\right)(−4)\left(-4\right)
(−12)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)(−21)\displaystyle \left(- \frac{1}{2} \right)
47\displaystyle \frac{4}{7} 74\displaystyle \frac{4}{7}
Prosta przechodząca przez dwa punkty
W kartezjańskim układzie współrzędnych wykresy funkcji liniowych oraz nie mają punktów wspólnych dla
m=−2m=-2m=−2m=-2
m=−1m=-1m=−1m=-1
m=1m=1m=1m=1
m=2m=2m=2m=2
Proste równoległe
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem , gdzie oraz są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że i . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych .
Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Znaczenie współczynników funkcji kwadratowej
Ciąg jest określony wzorem dla każdej liczby naturalnej . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od jest równa
28282828
31313131
32323232
27272727
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Ciąg , określony wzorem dla każdej liczby naturalnej , jest
ciągiem arytmetycznym o różnicy 2222.
ciągiem arytmetycznym o różnicy (−2)(−2)(−2)(−2).
ciągiem geometrycznym o ilorazie 2222.
ciągiem geometrycznym o ilorazie (−2)(−2)(−2)(−2).
Rozpoznawanie rodzaju ciągu (arytmetyczny, geometryczny) i/lub jego własności (monotoniczność)
Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny. Liczba jest równa
7777
11111111
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . W tym ciągu oraz .
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu jest równa
11,2511{,}2511,2511{,}25
(−18,75)\left(-18{,}75\right)(−18,75)\left(-18{,}75\right)
15151515
(−15)\left(-15\right)(−15)\left(-15\right)
Definicja
Dla każdego kąta ostrego wyrażenie jest równe
cos3α\cos^3\alphacos3α\cos^3\alpha
sin2α\sin^2\alphasin2α\sin^2\alpha
1−sin2α1-\sin^2\alpha1−sin2α1-\sin^2\alpha
cosα\cos\alphacosα\cos\alpha
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
Cosinus kąta ostrego jest równy . Wtedy jest równy
255\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5} 525\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}
52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2} 25\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}
Na łukach i okręgu są oparte kąty wpisane i , takie, że i (zobacz rysunek). Cięciwy i przecinają się w punkcie .
Miara kąta jest równa
80∘80^\circ 80∘80^\circ
60∘60^\circ 60∘60^\circ
50∘50^\circ 50∘50^\circ
40∘40^\circ 40∘40^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Pole równoległoboku jest równe . Bok tego równoległoboku ma długość , a kąt równoległoboku ma miarę (zobacz rysunek).
Długość boku jest równa
838\sqrt{3}838\sqrt{3}
828\sqrt{2}828\sqrt{2}
16216\sqrt{2}16216\sqrt{2}
16316\sqrt{3}16316\sqrt{3}
Równoległobok
Odcinek jest średnicą okręgu o środku . Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie . Prosta przecina ten okrąg w punktach i . Proste i przecinają się w punkcie , przy czym i (zobacz rysunek).
Odległość punktu od prostej jest równa
72\displaystyle \frac{7}{2} 27\displaystyle \frac{7}{2}
12\displaystyle \sqrt{12}12\displaystyle \sqrt{12}
3+2\sqrt{3}+23+2\sqrt{3}+2
Okrąg - styczne, sieczne i cięciwy.
Funkcja liniowa jest określona wzorem . Funkcja jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych wykres funkcji przechodzi przez punkt i jest prostopadły do wykresu funkcji .
Wzorem funkcji jest
g(x)=x+1g(x)=x+1g(x)=x+1g(x)=x+1
g(x)=−x−1g(x)=-x-1g(x)=−x−1g(x)=-x-1
g(x)=−x+1g(x)=-x+1g(x)=−x+1g(x)=-x+1
g(x)=x−1g(x)=x-1g(x)=x−1g(x)=x-1
Proste prostopadłe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Punkt dzieli odcinek tak, że .
Punkt ma współrzędne
(9,−5)\left(9,-5\right)(9,−5)\left(9,-5\right)
(9,−17)\left(9,-17\right)(9,−17)\left(9,-17\right)
(7,−11)\left(7,-11\right)(7,−11)\left(7,-11\right)
(5,−5)\left(5,-5\right)(5,−5)\left(5,-5\right)
Długość odcinka i środek odcinka
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty oraz są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu .
Pole kwadratu jest równe
8108\sqrt{10}8108\sqrt{10}
16516\sqrt{5}16516\sqrt{5}
40404040
80808080
Kwadrat w układzie współrzędnych
Punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych, gdy
a=43\displaystyle a= \frac{4}{3} a=34\displaystyle a= \frac{4}{3} oraz b=0b=0b=0b=0
a=43\displaystyle a= \frac{4}{3} a=34\displaystyle a= \frac{4}{3} oraz b=−14b=-14b=−14b=-14
a=−23\displaystyle a=- \frac{2}{3} a=−32\displaystyle a=- \frac{2}{3} oraz b=−14b=-14b=−14b=-14
a=−23\displaystyle a=- \frac{2}{3} a=−32\displaystyle a=- \frac{2}{3} oraz b=0b=0b=0b=0
Obrazy prostych, punktów i okręgów w symetrii osiowej i środkowej
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości jest równa . Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa
3333
62\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2} 26\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}
1111
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny , w którym krawędź podstawy ma długość . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem (zobacz rysunek).
Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe
12,512{,}512,512{,}5
25252525
50505050
100100100100
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Średnia arytmetyczna zestawu pewnych stu liczb całkowitych dodatnich jest równa . Każdą z liczb tego zestawu zwiększamy o , w wyniku czego otrzymujemy nowy zestaw stu liczb. Średnia arytmetyczna nowego zestawu stu liczb jest równa
s+4s+4s+4s+4
s+4100\displaystyle s+ \frac{4}{100} s+1004\displaystyle s+ \frac{4}{100}
s+4100\displaystyle \frac{s+4}{100} 100s+4\displaystyle \frac{s+4}{100}
4s4s4s4s
Średnia arytmetyczna / ważona
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej jest
4444
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takiej, że , prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie . Punkt leży na wykresie funkcji . Wyznacz wzór funkcji .
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej punkt jest środkiem ramienia . Odcinek ma długość (zobacz rysunek). Oblicz obwód trójkąta .
Trójkąt prostokątny
Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych – od do – losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
W trapezie równoramiennym podstawa ma długość . Punkt jest środkiem odcinka . Prosta o równaniu jest osią symetrii tego trapezu oraz .
Oblicz współrzędne wierzchołka oraz pole tego trapezu.
Trapez w układzie współrzędnych
