Matura (czerwiec 2017, poziom rozszerzony, dodatkowy, (nowa formuła))

Równanie ma dokładnie

Liczba jest równa

Punkt jest obrazem punktu w jednokładności o środku w punkcie . Skala tej jednokładności jest równa

Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu jest równa

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: i . Oblicz największą wartość tej funkcji. Wyznacz cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

Miary kątów trójkąta są równe , i . Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki i przecinają boki i tego trójkąta w punktach odpowiednio i (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli , to na czworokącie można opisać okrąg.

Z cyfr tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez . Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Ciąg jest arytmetyczny, a ciąg jest geometryczny. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego . Wyrazy ciągu są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa . Natomiast pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego . Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa . Wyznacz te ciągi.

Rozwiąż równanie w przedziale .

Prosta , na której leży punkt , tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym . Wyznacz równanie prostej .

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału .

Trapez równoramienny o ramieniu długości wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa trapezu, o długości , jest średnicą tego okręgu. Przekątne i trapezu przecinają się w punkcie . Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt .

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości , których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od . Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.