Formuła 2015
Liczba jest równa
43\displaystyle \frac{4}{3} 34\displaystyle \frac{4}{3}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
1112\displaystyle \frac{11}{12} 1211\displaystyle \frac{11}{12}
3333
Logarytmy – wzór na zmianę podstawy logarytmu
Funkcja jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu jest równa
34\displaystyle \frac{3}{4} 43\displaystyle \frac{3}{4}
94\displaystyle \frac{9}{4} 49\displaystyle \frac{9}{4}
548\displaystyle \frac{54}{8} 854\displaystyle \frac{54}{8}
Pochodna funkcji
Jeżeli i , to wartość wyrażenia jest równa
−22+36\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} 6−22+3\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}
26+16\displaystyle \frac{2\sqrt{6}+1}{6} 626+1\displaystyle \frac{2\sqrt{6}+1}{6}
22+36\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6} 622+3\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}
1−266\displaystyle \frac{1-2\sqrt{6}}{6} 61−26\displaystyle \frac{1-2\sqrt{6}}{6}
Funkcje trygonometryczne nietypowych kątów
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe
514\displaystyle \frac{5}{14} 145\displaystyle \frac{5}{14}
914\displaystyle \frac{9}{14} 149\displaystyle \frac{9}{14}
57\displaystyle \frac{5}{7} 75\displaystyle \frac{5}{7}
67\displaystyle \frac{6}{7} 76\displaystyle \frac{6}{7}
Prawdopodobieństwo całkowite
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej wzorem
gdzie jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość , dla której granica ciągu jest równa .
Granica ciągu
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takich, że , spełniona jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Rozwiąż równanie:
Równanie z wartością bezwzględną
Punkt jest punktem przecięcia przekątnych trapezu . Długość podstawy jest o mniejsza od długości podstawy . Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym jest o mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie .
Wykaż, że spełniony jest warunek
Dowodzenie w planimetrii
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian jest równa .
Oblicz i dla wyznaczonej wartości rozwiąż nierówność .
Podzielność wielomianu - Twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie
Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto i . Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej , jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu . Ponadto . Oblicz .
Szereg geometryczny
Rozwiąż równanie w przedziale .
Równanie trygonometryczne: suma/różnica sinusów/cosinusów
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunki:
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Dany jest graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej . Przekątne i ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze takiej, że (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe .
Oblicz wysokość tego graniastosłupa.
Prostopadłościan
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego , w którym . Pole tego trójkąta jest równe . Bok zawarty jest w prostej o równaniu .
Oblicz współrzędne wierzchołków i tego trójkąta.
Trójkąt równoramienny w układzie współrzędnych
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym .
Wykaż, że pole każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości ramienia, wyraża się wzorem
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.
Optymalizacja w planimetrii
