Formuła 2023
Liczba jest równa
3\sqrt{3}3\sqrt{3}
33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} 33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
0,30{,}30,30{,}3
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
log293\log_{2}{93}log293\log_{2}{93}
log230\log_{2}{30}log230\log_{2}{30}
4444
5555
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków).
Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa
4300 zł
4400 zł
4500 zł
4600 zł
Lokaty i kredyty (procent składany)
Na osi liczbowej zaznaczono przedział.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
∣x−2∣<5|x-2|<5∣x−2∣<5|x-2|<5
∣x−2∣>5|x-2|>5∣x−2∣>5|x-2|>5
∣x−5∣<2|x-5|<2∣x−5∣<2|x-5|<2
∣x−5∣>2|x-5|>2∣x−5∣>2|x-5|>2
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dany jest układ równań
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb
x=1x=1x=1x=1 i y=2y=2y=2y=2
x=0x=0x=0x=0 i y=−3y=-3y=−3y=-3
x=−2x=-2x=−2x=-2 i y=1y=1y=1y=1
x=−1x=-1x=−1x=-1 i y=−1y=-1y=−1y=-1
Układy równań liniowych
Dla każdej liczby rzeczywistej różnej od i wartość wyrażenia
jest równa wartości wyrażenia
x2\displaystyle \frac{x}{2} 2x\displaystyle \frac{x}{2}
x4\displaystyle \frac{x}{4} 4x\displaystyle \frac{x}{4}
x2x+4\displaystyle \frac{x}{2x+4} 2x+4x\displaystyle \frac{x}{2x+4}
x3+3x26x2+24x+24\displaystyle \frac{x^3+3x^2}{6x^2+24x+24} 6x2+24x+24x3+3x2\displaystyle \frac{x^3+3x^2}{6x^2+24x+24}
Wyrażenia wymierne
Dany jest wielomian , gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian można zapisać w postaci dla pewnego wielomianu .
29292929
(−3)\left(-3\right)(−3)\left(-3\right)
0000
3333
Pierwiastki wielomianu – sprawdzanie i wyznaczanie parametru
Rozwiąż równanie
Równania wielomianowe – postać ogólna
Funkcja liniowa jest określona wzorem
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Miejscem zerowym funkcji jest liczba .
P
F
Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią ma współrzędne .
Miejsce zerowe funkcji liniowej
W kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−∞,−2](-\infty,-2](−∞,−2](-\infty,-2]
(−∞,4](-\infty,4](−∞,4](-\infty,4]
[−2,+∞)[-2,+\infty)[−2,+∞)[-2,+\infty)
[4,+∞)[4,+\infty)[4,+∞)[4,+\infty)
Odczytywanie własności funkcji z wykresu (bez wzoru)
Wyznacz zbiór (przedział) wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F.
f(x)=12(x−2)(x−6)\displaystyle \displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-2)(x-6) f(x)=21(x−2)(x−6)\displaystyle \displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-2)(x-6)
f(x)=12(x−4)2−2\displaystyle \displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)^2-2 f(x)=21(x−4)2−2\displaystyle \displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x-4)^2-2
𝑓(𝑥)=2(𝑥−2)(𝑥−6)\displaystyle 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 2)(𝑥 − 6)f(x)=2(x−2)(x−6)\displaystyle 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 2)(𝑥 − 6)
f(x)=12(x+4)2−2\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)^2-2 f(x)=21(x+4)2−2\displaystyle f(x)= \frac{1}{2}(x+4)^2-2
f(x)=2(x+2)(x+6)f(x)=2(x+2)(x+6)f(x)=2(x+2)(x+6)f(x)=2(x+2)(x+6)
f(x)=2(x+4)2−2\displaystyle f(x)= 2(x+4)^2-2 f(x)=2(x+4)2−2\displaystyle f(x)= 2(x+4)^2-2
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Funkcja kwadratowa jest określona za pomocą funkcji następująco: . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych , fragment wykresu funkcji .
Fragment wykresu funkcji przedstawiono na rysunku
AAAA
BBBB
CCCC
DDDD
Przesunięcie wykresu funkcji o wektor
Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze opisuje funkcja wykładnicza , gdzie to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza () po minutach liczonych od momentu , w którym zioła zalano wrzątkiem.
Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa
22∘C22^{\circ}\text{C}22∘C22^{\circ}\text{C}
39∘C39^{\circ}\text{C}39∘C39^{\circ}\text{C}
78∘C78^{\circ}\text{C}78∘C78^{\circ}\text{C}
61∘C61^{\circ}\text{C}61∘C61^{\circ}\text{C}
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . W tym ciągu oraz .
Szósty wyraz ciągu jest równy
24242424
36363636
69696969
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg jest określony dla każdej liczby naturalnej . Suma początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem dla każdej liczby naturalnej .
Pierwszy wyraz ciągu jest równy .
Drugi wyraz ciągu jest równy .
Różne zadania z ciągów (zliczanie wyrazów dodatnich/ujemnych, suma ciągu)
Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny.
(−1)\left(-1\right)(−1)\left(-1\right)
12,512{,}512,512{,}5
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych zaznaczono różne kąty. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią , a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: lub , lub , lub , lub , lub .
Kąt dla którego jest zaznaczony na rysunku
EEEE
FFFF
Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
Kąt jest ostry oraz .
Tangens kąta jest równy
52\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2} 25\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}
23\displaystyle \frac{2}{3} 32\displaystyle \frac{2}{3}
255\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5} 525\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}
355\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5} 535\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}
Tożsamości trygonometryczne (jedynka, wzór na tangens)
W kartezjańskim układzie współrzędnych dana jest prosta o równaniu . Prosta jest prostopadła do prostej i przechodzi przez punkt .
Prosta ma równanie
y=32x+6\displaystyle y=\frac{3}{2}x+6 y=23x+6\displaystyle y=\frac{3}{2}x+6
y=−23x+6\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+6 y=−32x+6\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+6
y=32x−9\displaystyle y=\frac{3}{2}x-9 y=23x−9\displaystyle y=\frac{3}{2}x-9
y=−23x+4\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+4 y=−32x+4\displaystyle y=-\frac{2}{3}x+4
Proste prostopadłe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są proste oraz o równaniach
Proste oraz są równoległe, gdy
m=(−12)\displaystyle m= \left(-\frac{1}{2} \right)m=(−21)\displaystyle m= \left(-\frac{1}{2} \right)
m=14\displaystyle m=\frac{1}{4} m=41\displaystyle m=\frac{1}{4}
m=32\displaystyle m= \frac{3}{2} m=23\displaystyle m= \frac{3}{2}
m=2m=2m=2m=2
Proste równoległe
W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest okrąg o środku w punkcie . Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych.
Okrąg jest określony równaniem
(x−4)2+(y+2)2=4(x-4)^2+(y+2)^2=4(x−4)2+(y+2)2=4(x-4)^2+(y+2)^2=4
(x−4)2+(y+2)2=2(x-4)^2+(y+2)^2=2(x−4)2+(y+2)2=2(x-4)^2+(y+2)^2=2
(x+4)2+(y−2)2=4(x+4)^2+(y-2)^2=4(x+4)2+(y−2)2=4(x+4)^2+(y-2)^2=4
(x+4)2+(y−2)2=2(x+4)^2+(y-2)^2=2(x+4)2+(y−2)2=2(x+4)^2+(y-2)^2=2
Równanie okręgu
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty oraz są wierzchołkami trójkąta równobocznego .
Pole trójkąta jest równe
17217\sqrt{2}17217\sqrt{2}
17317\sqrt{3}17317\sqrt{3}
18218\sqrt{2}18218\sqrt{2}
18318\sqrt{3}18318\sqrt{3}
Trójkąt równoboczny w układzie współrzędnych
Punkty oraz leżą na okręgu o środku w punkcie . Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie i tworzy z cięciwą kąt o mierze . Ponadto odcinek jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).
Miara kąta rozwartego jest równa
148∘148^{\circ}148∘148^{\circ}
116∘116^{\circ}116∘116^{\circ}
154∘154^{\circ}154∘154^{\circ}
122∘122^{\circ}122∘122^{\circ}
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W rombie dłuższa przekątna ma długość i tworzy z bokiem kąt o mierze (zobacz rysunek).
Pole rombu jest równe
24324\sqrt{3}24324\sqrt{3}
36236\sqrt{2}36236\sqrt{2}
Romb
Dany jest okrąg o środku w punkcie . Średnica tego okręgu przecina cięciwę w punkcie (zobacz rysunek). Ponadto: oraz .
Oblicz promień okręgu .
Okrąg - styczne, sieczne i cięciwy.
Dany jest sześcian o krawędzi długości . Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt (zobacz rysunek).
Suma odległości punktu od wszystkich ścian sześcianu jest równa
15151515
20202020
25252525
30303030
Sześcian
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze taki, że (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.
Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy .
Zliczanie liczb spełniających określone warunki
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
15\displaystyle \frac{1}{5} 51\displaystyle \frac{1}{5}
14\displaystyle \frac{1}{4} 41\displaystyle \frac{1}{4}
34\displaystyle \frac{3}{4} 43\displaystyle \frac{3}{4}
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale . Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.
Spośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe
37\displaystyle \frac{3}{7} 73\displaystyle \frac{3}{7}
57\displaystyle \frac{5}{7} 75\displaystyle \frac{5}{7}
1825\displaystyle \frac{18}{25} 2518\displaystyle \frac{18}{25}
910\displaystyle \frac{9}{10} 109\displaystyle \frac{9}{10}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Dominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa
A) 20 dag,
B) 23 dag,
ponieważ
1) ta masa jest największa w tej próbie.
2) iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
3) ta masa występuje najliczniej w tej próbie.
A,1
A,2
A,3
B,1
B,2
B,3
Dominanta (moda)
Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość , a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa .
Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.
Optymalizacja (funkcja kwadratowa)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
