(nowa formuła)
Dla każdej dodatniej liczby iloraz jest równy
a−3,9a^{-3{,}9}a−3,9a^{-3{,}9}
a−2a^{-2}a−2a^{-2}
a−1,3a^{-1{,}3}a−1,3a^{-1{,}3}
a1,3a^{1{,}3}a1,3a^{1{,}3}
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
Liczba jest równa
32\displaystyle \frac{3}{2} 23\displaystyle \frac{3}{2}
2222
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
3333
Definicja logarytmu
Liczby i są dodatnie. Liczba stanowi liczby oraz liczby . Wynika stąd, że
c=1,5ac=1{,}5ac=1,5ac=1{,}5a
c=1,6ac=1{,}6ac=1,6ac=1{,}6a
c=0,8ac=0{,}8ac=0,8ac=0{,}8a
c=0,16ac=0{,}16ac=0,16ac=0{,}16a
Równanie z procentami
Równość jest prawdziwa dla
a=3a=3a=3a=3
a=1a=1a=1a=1
a=−2a=-2a=−2a=-2
a=−3a=-3a=−3a=-3
Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia
Jedną z liczb, które spełniają nierówność , jest
1111
−1-1−1-1
−2-2−2-2
Nierówność wielomianowa - sprawdzanie czy liczba spełnia nierówność
Proste o równaniach i przecinają się w punkcie . Stąd wynika, że
P=(1,2)P=\left(1,2\right)P=(1,2)P=\left(1,2\right)
P=(−1,2)P=\left(-1,2\right)P=(−1,2)P=\left(-1,2\right)
P=(−1,−2)P=\left(-1,-2\right)P=(−1,−2)P=\left(-1,-2\right)
P=(1,−2)P=\left(1,-2\right)P=(1,−2)P=\left(1,-2\right)
Punkt przecięcia prostych
Punkty leżą na okręgu o środku (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa
91∘91^{\circ}91∘91^{\circ}
72,5∘72{,}5^{\circ}72,5∘72{,}5^{\circ}
18∘18^{\circ}18∘18^{\circ}
32∘32^{\circ}32∘32^{\circ}
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
Dana jest funkcja liniowa . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba
8888
6666
−6-6−6-6
−8-8−8-8
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Równanie wymierne , gdzie ,
nie ma rozwiązań rzeczywistych.
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
Równania wymierne
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt . Liczby i to miejsca zerowe funkcji .
Zbiorem wartości funkcji jest przedział
(−∞,−2](-\infty,-2](−∞,−2](-\infty,-2]
[−2,4][-2,4][−2,4][-2,4]
[4,+∞)[4,+\infty)[4,+∞)[4,+\infty)
(−∞,9](-\infty,9](−∞,9](-\infty,9]
Zbiór wartości funkcji kwadratowej
Najmniejsza wartość funkcji w przedziale jest równa
5555
9999
Wartość najmniejsza / największa w przedziale domkniętym
Funkcja określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wtedy jest równa
−932\displaystyle - \frac{\sqrt[3]{9}}{2} −239\displaystyle - \frac{\sqrt[3]{9}}{2}
−35\displaystyle - \frac{3}{5} −53\displaystyle - \frac{3}{5}
35\displaystyle \frac{3}{5} 53\displaystyle \frac{3}{5}
332\displaystyle \frac{\sqrt[3]{3}}{2} 233\displaystyle \frac{\sqrt[3]{3}}{2}
Obliczanie wartości funkcji w punkcie
W okręgu o środku w punkcie poprowadzono cięciwę , która utworzyła z promieniem kąt o mierze (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość . Odległość punktu od cięciwy jest liczbą z przedziału
[92,112]\displaystyle \left[ \frac{9}{2}, \frac{11}{2} \right][29,211]\displaystyle \left[ \frac{9}{2}, \frac{11}{2} \right]
(112,132)\displaystyle \left( \frac{11}{2}, \frac{13}{2} \right)(211,213)\displaystyle \left( \frac{11}{2}, \frac{13}{2} \right)
(132,192]\displaystyle \left( \frac{13}{2}, \frac{19}{2}\right] (213,219]\displaystyle \left( \frac{13}{2}, \frac{19}{2}\right]
(192,372]\displaystyle \left( \frac{19}{2}, \frac{37}{2}\right] (219,237]\displaystyle \left( \frac{19}{2}, \frac{37}{2}\right]
Odczytywanie miary kąta ostrego z tablic trygonometrycznych (na podstawie wartości funkcji)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy , a różnica tego ciągu jest równa . Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
372\displaystyle \frac{37}{2} 237\displaystyle \frac{37}{2}
−372\displaystyle - \frac{37}{2} −237\displaystyle - \frac{37}{2}
−52\displaystyle - \frac{5}{2} −25\displaystyle - \frac{5}{2}
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Ciąg jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
−4-4−4-4
0000
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Przedstawione na rysunku trójkąty i są podobne. Bok trójkąta ma długość
8,58{,}58,58{,}5
9,59{,}59,59{,}5
10101010
Podobieństwo trójkątów
Kąt jest ostry i . Wtedy
sinα=31326\displaystyle \sin\alpha= \frac{3\sqrt{13}}{26} sinα=26313\displaystyle \sin\alpha= \frac{3\sqrt{13}}{26}
sinα=1313\displaystyle \sin\alpha= \frac{\sqrt{13}}{13} sinα=1313\displaystyle \sin\alpha= \frac{\sqrt{13}}{13}
sinα=21313\displaystyle \sin\alpha= \frac{2\sqrt{13}}{13} sinα=13213\displaystyle \sin\alpha= \frac{2\sqrt{13}}{13}
sinα=31313\displaystyle \sin\alpha= \frac{3\sqrt{13}}{13} sinα=13313\displaystyle \sin\alpha= \frac{3\sqrt{13}}{13}
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Z odcinków o długościach: można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że
a=6a=6a=6a=6
a=4a=4a=4a=4
a=2a=2a=2a=2
Nierówność trójkąta
Okręgi o promieniach i są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu w punkcie przechodzi przez środek okręgu o promieniu (zobacz rysunek).
Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności , jest równe
14141414
2332\sqrt{33}2332\sqrt{33}
4334\sqrt{33}4334\sqrt{33}
12121212
Łuk okręgu, wycinek i odcinek koła, wzajemne położenie dwóch okręgów
Proste opisane równaniami oraz są prostopadłe, gdy
m=2m=2m=2m=2
m=12\displaystyle m= \frac{1}{2} m=21\displaystyle m= \frac{1}{2}
m=13\displaystyle m= \frac{1}{3} m=31\displaystyle m= \frac{1}{3}
m=−2m=-2m=−2m=-2
Proste prostopadłe
W układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Środkiem odcinka jest punkt . Wynika stąd, że
a=5a=5a=5a=5 i b=5b=5b=5b=5
a=−1a=-1a=−1a=-1 i b=2b=2b=2b=2
a=4a=4a=4a=4 i b=10b=10b=10b=10
a=−4a=-4a=−4a=-4 i b=−2b=-2b=−2b=-2
Długość odcinka i środek odcinka
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy
0≤p≤0,20\le p\le 0{,}2 0≤p≤0,20\le p\le 0{,}2
0,2≤p≤0,350{,}2\le p\le0{,}350,2≤p≤0,350{,}2\le p\le0{,}35
0,35<p≤0,50{,}35<p\le0{,}50,35<p≤0,50{,}35<p\le0{,}5
0,5<p≤10{,}5<p\le10,5<p≤10{,}5<p\le1
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - wielokrotny rzut moneta / kostką
Kąt rozwarcia stożka ma miarę , a tworząca tego stożka ma długość . Objętość tego stożka jest równa
36π36\pi36π36\pi
18π18\pi18π18\pi
24π24\pi24π24\pi
8π8\pi8π8\pi
Stożek
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt o mierze
30∘30^{\circ}30∘30^{\circ}
45∘45^{\circ}45∘45^{\circ}
60∘60^{\circ}60∘60^{\circ}
75∘75^{\circ}75∘75^{\circ}
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: , jest równa . Mediana tych liczb jest równa
26262626
27272727
28282828
29292929
Mediana
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Błąd bezwzględny i błąd względny
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Rozwiąż równanie .
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Dany jest trójkąt prostokątny . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt jest podobny do trójkąta .
Ciąg jest określony wzorem dla . Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Dowodzenie
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem , gdzie oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od cm.
Funkcja logarytmiczna - zadanie z treścią
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o . Oblicz kąty tego trójkąta.
Kąty w wielokątach
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny . Wysokość tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa . Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa . Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Prawdopodobieństwo klasyczne w kombinatoryce - losowanie liczb/kul ze zbioru/zbiorów
