(nowa formuła)
Liczba jest równa
(52)8\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^8 (25)8\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^8
52\displaystyle \frac{5}{2} 25\displaystyle \frac{5}{2}
10810^810810^8
10101010
Potęgowanie: własności / działania na potęgach
523\sqrt[3]{52}352\sqrt[3]{52}
3333
2232\sqrt[3]{2}2322\sqrt[3]{2}
2222
Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach
log2925\displaystyle \log_{2}{ \frac{9}{25} }log2259\displaystyle \log_{2}{ \frac{9}{25} }
log235\displaystyle \log_{2}{ \frac{3}{5} }log253\displaystyle \log_{2}{ \frac{3}{5} }
log295\displaystyle \log_{2}{ \frac{9}{5} }log259\displaystyle \log_{2}{ \frac{9}{5} }
log2625\displaystyle \log_{2}{ \frac{6}{25} }log2256\displaystyle \log_{2}{ \frac{6}{25} }
Logarytmy - podstawowe własności i działania
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o i obecnie jest równa . Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku?
4050405040504050
1782178217821782
7425742574257425
7128712871287128
Znajdywanie liczby, gdy dany jest jej procent
Równość jest
prawdziwa dla x=−2x=-\sqrt{2}x=−2x=-\sqrt{2}.
prawdziwa dla x=2x=\sqrt{2}x=2x=\sqrt{2}.
prawdziwa dla x=−1x=-1x=−1x=-1.
fałszywa dla każdej liczby xxxx.
Działania na wyrażeniach algebraicznych (przekształcanie wyrażeń, obliczanie wartości wyrażenia, sprawdzanie rozwiązań równania)
Do zbioru rozwiązań nierówności nie należy liczba
−3-3−3-3
−1-1−1-1
1111
Nierówność wielomianowa - sprawdzanie czy liczba spełnia nierówność
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności .
Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki
Równanie z niewiadomą
nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Równania wielomianowe - postać iloczynowa
Miejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba
3−4\sqrt{3}-43−4\sqrt{3}-4
−23+1-2\sqrt{3}+1−23+1-2\sqrt{3}+1
43−14\sqrt{3}-143−14\sqrt{3}-1
−3+12-\sqrt{3}+12−3+12-\sqrt{3}+12
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej , której miejsca zerowe to: i .
Współczynnik we wzorze funkcji jest równy
4444
Znaczenie współczynników funkcji kwadratowej
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej określonej wzorem . Punkt należy do tego wykresu funkcji.
Podstawa potęgi jest równa
−12\displaystyle - \frac{1}{2} −21\displaystyle - \frac{1}{2}
12\displaystyle \frac{1}{2} 21\displaystyle \frac{1}{2}
−2-2−2-2
Funkcja wykładnicza
W ciągu arytmetycznym , określonym dla , dane są: . Wtedy
a14=71a_{14}=71a14=71a_{14}=71
a12=71a_{12}=71a12=71a_{12}=71
a11=71a_{11}=71a11=71a_{11}=71
a10=71a_{10}=71a10=71a_{10}=71
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny . Stąd wynika, że
a=52\displaystyle a= \frac{5}{2 } a=25\displaystyle a= \frac{5}{2 }
a=25\displaystyle a= \frac{2}{5 } a=52\displaystyle a= \frac{2}{5 }
a=32\displaystyle a= \frac{3}{2 } a=23\displaystyle a= \frac{3}{2 }
a=23\displaystyle a= \frac{2}{3 } a=32\displaystyle a= \frac{2}{3 }
Charakteryzacja ciągu geometrycznego
Jeśli , to
m=sin40∘m=\sin40^\circm=sin40∘m=\sin40^\circ
m=cos40∘m=\cos40^\circm=cos40∘m=\cos40^\circ
m=cos50∘m=\cos50^\circm=cos50∘m=\cos50^\circ
m=tg50∘m=\tg 50^\circm=tg50∘m=\tg 50^\circ
Wzory redukcyjne
Na okręgu o środku w punkcie leży punkt (zobacz rysunek). Odcinek jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy ma miarę
116∘116^\circ116∘116^\circ
114∘114^\circ114∘114^\circ
112∘112^\circ112∘112^\circ
110∘110^\circ110∘110^\circ
Kąty w okręgu (wpisane, środkowe, między styczną a cięciwą)
W trójkącie punkt leży na boku , a punkt leży na boku . Odcinek jest równoległy do boku , a ponadto i (zobacz rysunek).
Długość odcinka jest równa
22222222
20202020
12121212
11111111
Podobieństwo trójkątów
Obwód trójkąta , przedstawionego na rysunku, jest równy
(3+32)a\displaystyle \left(3+ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)a(3+23)a\displaystyle \left(3+ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)a
(2+22)a\displaystyle \left(2+ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)a(2+22)a\displaystyle \left(2+ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)a
(3+3)a\left(3+\sqrt{3}\right)a(3+3)a\left(3+\sqrt{3}\right)a
(2+2)a\left(2+\sqrt{2}\right)a(2+2)a\left(2+\sqrt{2}\right)a
Trójkąt prostokątny
Na rysunku przedstawiona jest prosta , przechodząca przez punkt i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt nachylenia tej prostej do osi .
Zatem
tgα=−23\displaystyle \tg\alpha=- \frac{2}{3} tgα=−32\displaystyle \tg\alpha=- \frac{2}{3}
tgα=−32\displaystyle \tg\alpha=- \frac{3}{2} tgα=−23\displaystyle \tg\alpha=- \frac{3}{2}
tgα=23\displaystyle \tg\alpha= \frac{2}{3} tgα=32\displaystyle \tg\alpha= \frac{2}{3}
tgα=32\displaystyle \tg\alpha= \frac{3}{2} tgα=23\displaystyle \tg\alpha= \frac{3}{2}
Kąt nachylenia prostej do osi OXOXOXOX
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste i przecinają się pod kątem prostym w punkcie . Prosta jest określona równaniem . Zatem prostą opisuje równanie
y=14x+72\displaystyle y= \frac{1}{4}x+ \frac{7}{2} y=41x+27\displaystyle y= \frac{1}{4}x+ \frac{7}{2}
y=−14x−72\displaystyle y= -\frac{1}{4}x- \frac{7}{2} y=−41x−27\displaystyle y= -\frac{1}{4}x- \frac{7}{2}
y=4x−12y=4x-12y=4x−12y=4x-12
y=4x+12y=4x+12y=4x+12y=4x+12
Proste prostopadłe
Dany jest okrąg o środku i promieniu . Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A=(−1,7)A=\left(-1,7\right)A=(−1,7)A=\left(-1,7\right)
B=(2,−3)B=\left(2,-3\right)B=(2,−3)B=\left(2,-3\right)
C=(3,2)C=\left(3,2\right)C=(3,2)C=\left(3,2\right)
D=(5,3)D=\left(5,3\right)D=(5,3)D=\left(5,3\right)
Równanie okręgu
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe . Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa
10\sqrt{10}10\sqrt{10}
3103\sqrt{10}3103\sqrt{10}
42\sqrt{42}42\sqrt{42}
3423\sqrt{42}3423\sqrt{42}
Graniastosłup prawidłowy czworokątny (wysokość, pole, objętość, kąty nachylenia)
Promień podstawy walca jest równy wysokości tego walca. Sinus kąta (zobacz rysunek) jest równy
32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} 23\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}
Walec
Dany jest stożek o wysokości i średnicy podstawy . Objętość tego stożka jest równa
576π576\pi576π576\pi
192π192\pi192π192\pi
144π144\pi144π144\pi
48π48\pi48π48\pi
Stożek
Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: jest równa . Wtedy
x=1x=1x=1x=1
x=2x=2x=2x=2
x=11x=11x=11x=11
x=13x=13x=13x=13
Średnia arytmetyczna / ważona
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od do losujemy jedną liczbę. Niech oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby . Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe
14\displaystyle \frac{1}{4} 41\displaystyle \frac{1}{4}
13\displaystyle \frac{1}{3} 31\displaystyle \frac{1}{3}
18\displaystyle \frac{1}{8} 81\displaystyle \frac{1}{8}
16\displaystyle \frac{1}{6} 61\displaystyle \frac{1}{6}
Prawdopodobieństwo klasyczne
Rozwiąż nierówność
Nierówności kwadratowe – rozwiązywanie i wyznaczanie zbioru rozwiązań
Wykaż, że liczba jest podzielna przez .
Dowodzenie podzielności i reszt z dzielenia
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach i , styczne zewnętrznie w punkcie . Prosta jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach i oraz i (zobacz rysunek). Wykaż, że .
Okrąg - styczne, sieczne i cięciwy.
Funkcja kwadratowa jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem . Największa wartość funkcji jest równa oraz . Oblicz wartość współczynnika .
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (lub brakujących współczynników)
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość cm, a jedna z przyprostokątnych jest o cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
W ciągu arytmetycznym , określonym dla , dane są: wyraz i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu . Oblicz różnicę .
Suma ciągu arytmetycznego
Dane są punkty i oraz prosta o równaniu . Wierzchołek trójkąta to punkt przecięcia prostej z osią układu współrzędnych, a wierzchołek jest punktem przecięcia prostej z prostą . Oblicz pole trójkąta .
Trójkąt w układzie współrzędnych
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od i podzielna przez . Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa , a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
