Matura (grudzień 2024, poziom rozszerzony, próbna, Formuła 2023)

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

gdzie:

• - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej wyrażony w milikulombach

• - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach

• - stała dodatnia

• - czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili w kondensatorze był zgromadzony ładunek milikulombów, a w chwili – ładunek milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili .

Okrąg jest styczny do boków i trójkąta oraz przecina bok tego trójkąta w punktach oraz , przy czym .

Wykaż, że jeśli , to trójkąt jest równoramienny.

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy . Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe . Oblicz objętość tego walca.

Wykaż, że

W pewnej lokalnej społeczności osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada osób mających wyższe wykształcenie i osób bez wyższego wykształcenia. Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych.

Rozwiąż równanie

W kartezjańskim układzie współrzędnych dane są: okrąg o równaniu i punkty oraz . Punkt leży na tym okręgu i .

Oblicz współrzędne punktu . Rozważ wszystkie przypadki.

Oblicz granicę

gdzie jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych.

Rozwiąż równanie

w zbiorze .

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego , określonego dla każdej liczby naturalnej , spełniają warunek .

Trzywyrazowy ciąg jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego.

Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej jest określona wzorem

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których funkcja ma dwa różne miejsca zerowe spełniające warunek .

W trójkącie ostrokątnym miara kąta jest dwa razy większa od miary kąta . Punkt jest środkiem boku . Niech oznacza miarę kąta , natomiast – miarę kąta (zobacz rysunek).

Oblicz .

Funkcja jest określona wzorem dla każdego . W kartezjańskim układzie współrzędnych rozważamy wszystkie czworokąty , w których:

• wierzchołek ma współrzędne

• wierzchołki oraz są punktami przecięcia wykresu funkcji z osią – odpowiednio – i

• wierzchołek ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji

(zobacz rysunek).

1. Wykaż, że pole czworokąta w zależności od pierwszej współrzędnej punktu jest określone wzorem

2. Oblicz współrzędne wierzchołka , dla których pole czworokąta jest największe.