Ten typ obejmuje zadania, w których rozwiązujemy nierówność kwadratową, czyli nierówność, którą da się zapisać w postaci ax^2+bx+c>0 albo podobnej ze znakiem <, \ge lub \le, gdzie a\neq 0. Lewa strona to wzór funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c, więc nierówność f(x)>0 pyta, dla jakich argumentów wykres tej funkcji leży nad osią OX.

Korzystamy z twierdzenia o rozwiązaniu nierówności kwadratowej: wyznaczamy miejsca zerowe x_1<x_2, szkicujemy parabolę i odczytujemy, gdzie leży ona nad osią OX, a gdzie pod nią. Z własności wykresu funkcji kwadratowej wiemy, że dla a>0 ramiona paraboli są skierowane w górę, a dla a<0 — w dół. Dla a>0 i dwóch miejsc zerowych otrzymujemy:

\begin{aligned}f(x)<0&\iff x\in(x_1,x_2)\\ f(x)>0&\iff x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)\end{aligned} $Twierdzenie o rozwiązaniu nierówności kwadratowej$

Dla a<0 jest odwrotnie: funkcja przyjmuje wartości dodatnie między miejscami zerowymi, a ujemne — poza przedziałem [x_1,x_2]. W nierówności nieostrej miejsca zerowe należą do zbioru rozwiązań, więc przedziały są przy nich domknięte. Gdy funkcja ma jedno miejsce zerowe albo nie ma ich wcale, parabola dotyka osi OX albo leży w całości po jednej jej stronie — zbiorem rozwiązań jest wtedy \mathbb{R}, zbiór pusty, jedna liczba albo \mathbb{R} bez jednej liczby.

Zadania, w których wyznaczamy same miejsca zerowe funkcji kwadratowej, zostały zebrane w osobnym typie Miejsca zerowe funkcji kwadratowej, a nierówności kwadratowe z parametrem — w typie Nierówność kwadratowa z parametrem.

Nierówność w postaci iloczynowej

W tym wariancie lewa strona jest iloczynem czynników liniowych, a prawa — zerem. Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe bez obliczania wyróżnika, bo iloczyn jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników:

a(x-x_1)(x-x_2)=0\iff x=x_1\ \lor\ x=x_2 $Postać iloczynowa funkcji kwadratowej$

Współczynnik przy x^2 jest iloczynem liczb stojących przy x we wszystkich czynnikach i liczby przed nawiasami; jego znak decyduje o kierunku ramion paraboli.

W tym zadaniu przy x w obu czynnikach stoi liczba 1, więc miejsca zerowe są liczbami przeciwnymi do liczb w nawiasach, a parabola ma ramiona skierowane w górę.

Tutaj w obu czynnikach przy x stoją liczby różne od 1, więc miejsce zerowe każdego czynnika wyznaczamy z równania liniowego — są nimi ułamki.

Tutaj jeden z czynników zapisano w odwrotnej kolejności — czynnik (p-x) jest równy -(x-p), więc współczynnik przy x^2 jest ujemny, a ramiona paraboli są skierowane w dół.

Nierówność w postaci ogólnej

W tym wariancie lewa strona ma postać ogólną ax^2+bx+c, a prawa jest zerem. Miejsca zerowe wyznaczamy z twierdzenia o miejscach zerowych funkcji kwadratowej: obliczamy wyróżnik \Delta=b^2-4ac i gdy \Delta>0, korzystamy ze wzorów:

\begin{aligned}x_1&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\end{aligned} $Twierdzenie o miejscach zerowych funkcji kwadratowej$

Potem szkicujemy parabolę z ramionami skierowanymi zgodnie ze znakiem a i odczytujemy zbiór rozwiązań.

W tym zadaniu współczynnik przy x^2 jest dodatni, a znak nierówności to <, więc rozwiązaniem jest przedział otwarty między miejscami zerowymi.

Tutaj współczynnik przy x^2 także jest dodatni, ale nierówność jest nieostra ze znakiem \ge, więc rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów nieograniczonych domkniętych przy miejscach zerowych.

Tutaj współczynnik przy x^2 jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Wzory dają wtedy x_1>x_2, więc przed zapisaniem przedziałów porządkujemy miejsca zerowe; można też najpierw pomnożyć nierówność przez -1, zmieniając jej zwrot.

Tutaj nierówność zapisano za pomocą funkcji f, której wykres szkicujemy w pierwszej części zadania. Rozwiązanie nierówności f(x)\ge 0 odczytujemy z wykresu — to argumenty, dla których wykres leży nad osią OX lub na niej.

Nierówność kwadratowa niezupełna

W tym wariancie w postaci ogólnej brakuje wyrazu wolnego albo wyrazu z pierwszą potęgą x, więc wyróżnik nie jest potrzebny. Gdy c=0, wyłączamy x przed nawias, a gdy b=0 i liczby a, c mają przeciwne znaki, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\begin{aligned}ax^2+bx&=x(ax+b)\\ x^2-k^2&=(x-k)(x+k)\end{aligned}

Otrzymujemy postać iloczynową z miejscami zerowymi 0 i \displaystyle -\frac{b}{a} albo -k i k. Wcześniej wygodnie jest podzielić obie strony przez współczynnik przy x^2 — gdy jest ujemny, zmieniamy zwrot nierówności.

W tym zadaniu brakuje wyrazu wolnego, a współczynnik przy x^2 jest ujemny, więc po wyłączeniu x przed nawias pamiętamy o kierunku ramion paraboli albo najpierw mnożymy nierówność przez -1.

Tutaj brakuje wyrazu z pierwszą potęgą x, a oba pozostałe współczynniki dzielą się przez tę samą liczbę — po podzieleniu przez nią lewa strona jest różnicą kwadratów.

Nierówność, którą trzeba najpierw uporządkować

W tym wariancie niewiadoma występuje po obu stronach nierówności albo w nawiasach. Zgodnie z twierdzeniem o metodzie nierówności równoważnych wymnażamy nawiasy, przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i redukujemy wyrazy podobne, tak aby po drugiej stronie zostało zero:

u>v\iff u-v>0

Dalej postępujemy jak przy nierówności w postaci ogólnej.

W tym zadaniu wystarczy przenieść liczbę z prawej strony na lewą, aby otrzymać nierówność w postaci ogólnej.

Tutaj wyrazy z x^2 są po obu stronach, a po ich przeniesieniu współczynnik przy x^2 jest ujemny — możemy pomnożyć nierówność przez -1, zmieniając jej zwrot.

Tutaj lewa strona jest iloczynem, ale po prawej stronie nie ma zera, więc miejsc zerowych nie odczytamy z czynników. Najpierw wymnażamy nawiasy i przenosimy liczbę na lewą stronę.

Wspólny czynnik po obu stronach nierówności

W tym wariancie to samo wyrażenie z niewiadomą występuje po obu stronach nierówności, np. jako czynnik iloczynu. Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias — od razu dostajemy postać iloczynową:

\begin{aligned}wu>wv&\iff wu-wv>0\\ &\iff w\,(u-v)>0\end{aligned}

Nierówność można też rozwiązać, wymnażając wszystkie nawiasy i sprowadzając ją do postaci ogólnej, ale rozkład na czynniki jest zwykle krótszy.

W tym zadaniu to samo wyrażenie stoi po prawej stronie i jako czynnik po lewej stronie, więc po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę od razu wyłączamy je przed nawias.

Tutaj wspólny czynnik widać dopiero po rozłożeniu lewej strony na czynniki — najpierw wyłączamy przed nawias wspólny czynnik jej wyrazów.

Tutaj wspólny czynnik występuje w iloczynie po lewej stronie i w kwadracie po prawej, a pytanie dotyczy najmniejszej liczby całkowitej spełniającej nierówność.

Uwaga

Nie dzielimy przez wyrażenie z niewiadomą

Obu stron nierówności nie dzielimy przez wspólny czynnik, np. x-1: jego znak zależy od x, więc nie wiemy, czy zwrot nierówności trzeba zmienić, a dla x=1 dzielilibyśmy przez zero. Po takim dzieleniu zbiór rozwiązań jest zwykle błędny — dlatego przenosimy wszystko na jedną stronę i wyłączamy czynnik przed nawias.

Liczby całkowite spełniające nierówność kwadratową

W tym wariancie po rozwiązaniu nierówności wypisujemy należące do zbioru rozwiązań liczby całkowite albo wskazujemy najmniejszą lub największą z nich. Gdy zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty [x_1,x_2], szukamy liczb całkowitych k spełniających warunek:

x_1\le k\le x_2

W przedziale otwartym końce nie należą do zbioru rozwiązań, nawet gdy są liczbami całkowitymi.

W tym zadaniu nierówność jest nieostra, a szukamy wszystkich spełniających ją liczb całkowitych — końce przedziału też je spełniają.

Tutaj po wymnożeniu nawiasów wyrazy z x^2 się redukują i zostaje nierówność liniowa — takie nierówności zostały zebrane w osobnym typie Nierówności liniowe – zbiór rozwiązań i/lub wyznaczanie wartości spełniających warunki.

Zbiór rozwiązań na osi liczbowej i dodatkowy warunek

W tym wariancie wskazujemy rysunek osi liczbowej, na którym zaznaczono zbiór rozwiązań. Przedział między miejscami zerowymi to odcinek osi, a suma dwóch przedziałów nieograniczonych — dwie półproste; końce należące do zbioru rozwiązań oznacza się pełnymi kółkami, a pozostałe — pustymi.

W tym zadaniu nierówność jest w postaci iloczynowej, więc miejsca zerowe — końce zaznaczonych przedziałów — odczytujemy wprost z czynników.

Tutaj liczby muszą spełniać jednocześnie nierówność kwadratową i nierówność liniową, więc bierzemy część wspólną obu zbiorów rozwiązań. Zadania o działaniach na przedziałach zostały zebrane w osobnym typie Zbiory i przedziały - działania i oś liczbowa.

Rozwiąż nierówność:3x^2-2x-9 7

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia