Ten typ obejmuje zadania, w których obliczamy wartość wyrażenia z potęgami albo zapisujemy je w prostszej postaci, zwykle jako jedną potęgę. Najczęściej sprowadzamy potęgi do wspólnej podstawy lub wspólnego wykładnika i korzystamy z własności potęg:

\begin{aligned}a^x\cdot a^y&=a^{x+y}\\ a^x:a^y&=a^{x-y}\\ \left(a^x\right)^y&=a^{x\cdot y}\\ a^x\cdot b^x&=(a\cdot b)^x\\ a^x:b^x&=\left(\frac{a}{b}\right)^x\end{aligned}

Wzory te zachodzą dla dodatnich podstaw a i b oraz dowolnych wykładników, a dla wykładników całkowitych — dla dowolnych podstaw różnych od zera. Pierwiastki zapisujemy jako potęgi o wykładniku wymiernym, a ułamki — jako potęgi o wykładniku ujemnym, np. 0{,}01=10^{-2}.

Uwaga

Typowe błędy

Wykładniki dodajemy tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie. Suma jednakowych potęg nie jest potęgą o sumie wykładników: a^n+a^n=2\cdot a^n, a nie a^{2n}. Iloczynu potęg o różnych podstawach i różnych wykładnikach nie zapiszemy jako jednej potęgi, dopóki nie sprowadzimy podstaw do wspólnej liczby. Potęga o wykładniku ujemnym nie jest liczbą ujemną, np. \displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{8}.

Sprowadzanie potęg do wspólnej podstawy

W tym wariancie podstawy potęg są zwykle różne, ale każda jest potęgą tej samej liczby, np. 9=3^2, 81=3^4, 8=2^3, \displaystyle \frac{1}{8}=2^{-3}. Zapisujemy wszystkie podstawy jako potęgi wspólnej liczby, wykładniki mnożymy zgodnie ze wzorem \left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}, a potem dodajemy je przy mnożeniu i odejmujemy przy dzieleniu:

\frac{a^m\cdot a^n}{a^k}=a^{m+n-k}

W tym zadaniu obie podstawy są potęgami liczby 3, a wykładniki są naturalne, więc wystarczy zamienić podstawy i dodać wykładniki.

Tutaj występują wykładniki ujemne, a jedną z podstaw jest ułamek — zapisujemy go jako potęgę liczby 2 o wykładniku ujemnym i uważamy na znaki przy odejmowaniu wykładników.

Tutaj w mianowniku stoi potęga liczby 3, a wynik trzeba zapisać jako potęgę liczby 9. Potęgę trójki o parzystym wykładniku zamieniamy więc na potęgę dziewiątki — albo od razu sprowadzamy wszystkie podstawy do 9.

Potęga iloczynu i ilorazu — rozkład podstawy na czynniki

W tym wariancie w wyrażeniu występują potęgi kilku różnych podstaw, a niektóre podstawy są iloczynami innych, np. 42=6\cdot7 albo 36=2^2\cdot3^2. Rozkładamy takie podstawy na czynniki i korzystamy ze wzorów:

\begin{aligned}(a\cdot b)^n&=a^n\cdot b^n\\ \left(\frac{a}{b}\right)^n&=\frac{a^n}{b^n}\end{aligned}

Potem grupujemy potęgi o tej samej podstawie i upraszczamy je osobno dla każdej podstawy.

W tym zadaniu podstawa w mianowniku jest iloczynem kwadratów dwóch podstaw z licznika, więc rozkładamy ją na czynniki i skracamy potęgi każdej podstawy osobno.

Tutaj w liczniku i mianowniku stoją potęgi trzech różnych podstaw, głównie o wykładnikach ujemnych — grupujemy je według podstaw i dla każdej odejmujemy wykładniki.

Tutaj po zamianie potęgi o wykładniku ujemnym obie potęgi mają ten sam wykładnik, więc wzór na potęgę ilorazu czytamy od prawej strony i łączymy je w jedną potęgę.

Sumy i różnice potęg — wyłączanie wspólnego czynnika

W tym wariancie potęgi są dodawane lub odejmowane, więc nie możemy od razu skorzystać z własności potęg. Z sumy potęg tej samej podstawy wyłączamy przed nawias najmniejszą z nich:

a^n+a^{n+1}+a^{n+2}=a^n\left(1+a+a^2\right)

W nawiasie zostaje zwykła liczba, którą obliczamy i upraszczamy z resztą wyrażenia.

W tym zadaniu w liczniku jest suma trzech kolejnych potęg tej samej podstawy, a w mianowniku — najmniejsza z nich, więc po wyłączeniu jej przed nawias skraca się ona z mianownikiem.

Tutaj dodajemy kilka jednakowych potęg. Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym a\cdot a^n=a^{n+1}, więc gdy liczba składników jest równa podstawie, suma jest potęgą o wykładniku większym o jeden — a nie potęgą o pomnożonym wykładniku.

Tutaj potęga stoi w nawiasie podniesionym do kwadratu, więc najpierw korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Zadania na wzory skróconego mnożenia zostały zebrane w osobnym typie Wzory skróconego mnożenia: potęga drugiego stopnia.

Potęga o wykładniku ujemnym i zerowym

W tym wariancie korzystamy wprost z definicji potęgi o wykładniku ujemnym oraz z tego, że każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1:

\begin{aligned}a^{-n}&=\frac{1}{a^n}\\ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}&=\left(\frac{b}{a}\right)^n\\ a^0&=1\end{aligned} $Potęga o wykładniku ujemnym$

Wzory te zachodzą dla a\neq0 i b\neq0: potęgę o wykładniku ujemnym zamieniamy na potęgę odwrotności podstawy.

W tym zadaniu potęgę ułamka o wykładniku ujemnym zapisujemy jako potęgę jego odwrotności o wykładniku dodatnim.

Tutaj podstawiamy do wyrażenia liczbę ujemną, a jeden z wykładników także jest ujemny. O znaku potęgi liczby ujemnej decyduje parzystość wykładnika, np. (-2)^3 jest liczbą ujemną, a (-2)^{-2} — dodatnią.

Tutaj całe rozbudowane wyrażenie jest podniesione do potęgi zerowej, więc nie musimy obliczać jego wartości — wystarczy zauważyć, że jest różne od zera.

Potęga o wykładniku wymiernym — pierwiastki zapisane potęgami

W tym wariancie wyrażenie zawiera pierwiastki albo potęgi o wykładnikach ułamkowych. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym dla a>0:

\begin{aligned}a^{\frac{1}{n}}&=\sqrt[n]{a}\\ a^{\frac{m}{n}}&=\sqrt[n]{a^m}\end{aligned} $Potęga o wykładniku wymiernym$

Tu n jest liczbą naturalną większą od 1, a m — liczbą całkowitą. Zamieniamy pierwiastki na potęgi, np. \displaystyle \sqrt[3]{2^5}=2^{\frac{5}{3}}, i działamy na wykładnikach jak na ułamkach. Zadania, w których przekształcamy wyrażenia z pierwiastkami bez zamiany na potęgi, zostały zebrane w osobnym typie Pierwiastkowanie: własności / działania na pierwiastkach.

W tym zadaniu pierwiastek zamieniamy na potęgę o tej samej podstawie co drugi czynnik, a potem dodajemy wykładniki jak ułamki.

Tutaj odwrotnie: potęgę o wykładniku ułamkowym trzeba zapisać za pomocą pierwiastka. Wykładnik jest ułamkiem niewłaściwym, więc rozdzielamy go na część całkowitą i ułamkową — część całkowita daje czynnik stojący przed pierwiastkiem.

Tutaj pierwiastek stoi w mianowniku. Możemy zamienić go na potęgę i odjąć wykładniki albo usunąć niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez ten pierwiastek.

Notacja wykładnicza i potęgi liczby dziesięć

W tym wariancie liczby są zapisane w notacji wykładniczej a\cdot10^k, gdzie 1\le a<10, a k jest liczbą całkowitą, albo trzeba je tak zapisać. Przy mnożeniu i dzieleniu takich liczb osobno działamy na współczynnikach, a osobno na potęgach liczby 10:

\frac{a\cdot10^k}{b\cdot10^l}=\frac{a}{b}\cdot10^{k-l}

W tym zadaniu dzielimy dwie liczby zapisane w notacji wykładniczej z ujemnymi wykładnikami — przy odejmowaniu wykładników trzeba uważać na znaki.

Tutaj porównujemy masy podane w różnych jednostkach, więc najpierw zapisujemy obie w kilogramach jako iloczyny liczby i potęgi dziesięciu, a dopiero potem je dzielimy.

Tutaj pytamy o liczbę cyfr liczby zapisanej jako iloczyn potęg dwójki i piątki. Pary takich czynników łączymy w potęgę dziesięciu, a liczba 10^n ma n+1 cyfr.

Porównywanie potęg

W tym wariancie sprawdzamy, która z liczb zapisanych potęgami jest większa, albo wykazujemy nierówność między nimi. Sprowadzamy potęgi do wspólnej podstawy lub do wspólnego wykładnika i porównujemy:

\begin{aligned}a^x<a^y&\iff x<y\\ a^n<b^n&\iff a<b\end{aligned}

Pierwsza równoważność zachodzi dla a>1, a druga dla dodatnich a i b oraz n>0.

W tym zadaniu porównujemy z liczbą 5 cztery potęgi o wykładnikach wymiernych, w tym ujemnych — każdą zapisujemy jako potęgę piątki albo obliczamy jej wartość.

Tutaj trzeba wykazać nierówność między potęgami o różnych podstawach i różnych wykładnikach. Wykładniki są wielokrotnościami tej samej liczby, więc obie strony zapisujemy jako potęgi o wspólnym wykładniku i porównujemy podstawy.

Iloczyn 81^2 ⋅ 9^4 jest równy

Zadanie

Rozwiązanie

O zadaniu

Pojęcia