Funkcja kwadratowa

Ten typ obejmuje zadania z poziomu rozszerzonego o $f(x)=ax^2+bx+c$f(x)=ax^2+bx+c, w których korzystamy z jej postaci iloczynowej, z położenia wierzchołka paraboli albo z wykresu funkcji z wartością bezwzględną. Z wierzchołek paraboli $W=(p,q)$W=(p,q) ma współrzędne:

Z wynika, że dla $a<0$a<0 ramiona paraboli są skierowane w dół i funkcja przyjmuje w wierzchołku wartość największą, a dla $a>0$a>0 — wartość najmniejszą. Gdy znamy miejsca zerowe $x_1$x_1 i $x_2$x_2, zapisujemy funkcję w :

Z wierzchołek leży wtedy na prostej $x=p$x=p w połowie drogi między miejscami zerowymi: $\displaystyle p=\frac{x_1+x_2}{2}$\displaystyle p=\frac{x_1+x_2}{2}.

Zadania o wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej na poziomie podstawowym zostały zebrane w typie , a zadania o takich wartościach w przedziale domkniętym — w typie .

W tym wariancie znamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, ale nie znamy wszystkich jej współczynników. Zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej i z niej obliczamy potrzebne wartości — nie musimy wyznaczać postaci ogólnej.

W tym zadaniu nie znamy współczynnika $a$a, ale obliczamy iloraz dwóch wartości funkcji, więc ten współczynnik się skraca.

Tutaj współczynnik przy $x^2$x^2 jest dany, a szukamy największej wartości funkcji. Osiąga ją ona w wierzchołku paraboli, którego pierwsza współrzędna leży w połowie drogi między miejscami zerowymi.

W tym wariancie badamy funkcję $g(x)=|f(x)|$g(x)=|f(x)|, w której na funkcję kwadratową $f$f nałożono . Wykres funkcji $g$g otrzymujemy z paraboli, odbijając symetrycznie względem osi $OX$OX część leżącą pod tą osią. Wyznaczamy miejsca zerowe i wierzchołek paraboli, a potem z wykresu odczytujemy potrzebne wartości funkcji $g$g.

W tym zadaniu szukamy zbioru wartości funkcji w przedziale domkniętym, do którego należy miejsce zerowe, ale nie należy wierzchołek — porównujemy więc wartości na krańcach przedziału.

Tutaj szukamy parametru, dla którego równanie $g(x)=|m|$g(x)=|m| ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie. Przesuwamy prostą poziomą $y=|m|$y=|m| i liczymy jej punkty wspólne z częścią wykresu leżącą na prawo od osi $OY$OY.