Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Ten typ obejmuje zadania, w których te same liczby — albo liczby od siebie zależne — tworzą i . Każdy z ciągów daje warunki na niewiadome. Dla trzech kolejnych wyrazów korzystamy z i :

Drugi warunek stosujemy do ciągów o wyrazach różnych od zera. Wyrazy położone dalej od siebie zapisujemy ze $a_n=a_1+(n-1)r$a_n=a_1+(n-1)r i ze $a_n=a_1q^{n-1}$a_n=a_1q^{n-1}. Prostsze zadania z matury podstawowej zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie liczby są wyrazami ciągu arytmetycznego, a ciąg geometryczny tworzą te same liczby albo wyrażenia z nich zbudowane. Ze zapisujemy wyrazy ciągu arytmetycznego za pomocą jednego z nich i różnicy $r$r, a warunek $y^2=xz$y^2=xz z daje równanie z niewiadomą $r$r. Drugie równanie otrzymujemy z dodatkowej informacji, np. o sumie wyrazów.

W tym zadaniu znamy sumę trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego, więc zapisujemy je symetrycznie jako $b-r,\ b,\ b+r$b-r,\ b,\ b+r — suma od razu daje środkowy wyraz.

Tutaj wyrazy ciągu geometrycznego są wyrazami ciągu arytmetycznego o numerach w odwrotnej kolejności, więc wszystkie zapisujemy przez jeden z nich i różnicę. Rozwiązanie z różnicą równą zeru odrzucamy, bo ciąg arytmetyczny jest rosnący.

Tutaj ciągi są nieskończone i powiązane parametrami: pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego, a pierwszy wyraz ciągu geometrycznego — różnicą arytmetycznego. Korzystamy ze , a całkowite wyrazy pozwalają wybrać rozwiązanie.

W tym wariancie liczby tworzą ciąg geometryczny, a ciąg arytmetyczny powstaje z nich po zmianie niektórych wyrazów. Ze zapisujemy wyrazy ciągu geometrycznego jako $a,\ aq,\ aq^2$a,\ aq,\ aq^2, a warunek $2y=x+z$2y=x+z z daje równanie z niewiadomymi $a$a i $q$q. Drugie równanie otrzymujemy z dodatkowej informacji z treści.

W tym zadaniu znamy sumę wyrazów ciągu geometrycznego, więc wyznaczamy z niej $a$a w zależności od $q$q i podstawiamy do warunku dla ciągu arytmetycznego; malejący ciąg arytmetyczny pozwala odrzucić jeden iloraz.

Tutaj wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi, więc wystarcza jedno równanie z dwiema niewiadomymi — wnioskujemy z niego o dzielnikach i wybieramy rozwiązanie zgodne z założeniami.

Tutaj ciąg zmieniamy dwa razy — po pierwszej zmianie powstaje ciąg arytmetyczny, a po drugiej znów geometryczny — więc oba równania z $a$a i $q$q pochodzą z warunków dla ciągów.

W tym wariancie nie wprowadzamy różnicy ani ilorazu — niewiadomymi są same wyrazy. Warunki $2y=x+z$2y=x+z i $y^2=xz$y^2=xz zapisujemy wprost dla odpowiednich trójek liczb, dołączamy informacje z treści i rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania.

W tym zadaniu ciąg arytmetyczny ma cztery wyrazy, więc warunek dla trzech kolejnych wyrazów stosujemy do niego dwa razy.

Tutaj warunek dla ciągu arytmetycznego i dana różnica dwóch wyrazów pozwalają wyrazić dwie niewiadome przez trzecią, a warunek dla ciągu geometrycznego daje równanie kwadratowe; dodatnie wyrazy pozwalają odrzucić jedno rozwiązanie.

W tym wariancie po podstawieniu otrzymujemy równanie, w którym każdy składnik jest kwadratem jednej niewiadomej albo iloczynem dwóch niewiadomych, czyli równanie postaci:

Dzielimy je przez $v^2$v^2, zakładając, że $v\neq 0$v\neq 0, i podstawiamy $\displaystyle t=\frac{u}{v}$\displaystyle t=\frac{u}{v}. Otrzymujemy z niewiadomą $t$t, które wyznacza stosunek niewiadomych.

W tym zadaniu wyrazy ciągu geometrycznego są odwrotnościami wyrażeń z wyrazami ciągu arytmetycznego, a szukamy tylko ilorazu — wystarczy więc stosunek dwóch wyrazów, a nie same wyrazy.

Tutaj ciąg arytmetyczny ma cztery wyrazy, a warunek łączący kwadraty wyrazów daje równanie tej postaci — wyznaczamy z niego stosunek pierwszego wyrazu do różnicy. Jedną z otrzymanych czwórek odrzucamy, bo ciąg geometryczny miałby wyrazy równe zeru.