Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ten typ obejmuje zadania z poziomu rozszerzonego o $ABCDS$ABCDS: kąty w ostrosłupie, przekroje w kształcie trapezu i kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi. Podstawą jest kwadrat o boku $a$a, a spodek $O$O wysokości ostrosłupa jest punktem przecięcia przekątnych podstawy. Z $\displaystyle |AO|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$\displaystyle |AO|=\frac{a\sqrt{2}}{2}, a odległość punktu $O$O od środka $P$P krawędzi podstawy jest równa $\displaystyle \frac{a}{2}$\displaystyle \frac{a}{2}. Większość zadań sprowadza się do trójkątów prostokątnych z przyprostokątną $SO$SO: trójkąta $AOS$AOS z krawędzią boczną i trójkąta $POS$POS z wysokością ściany bocznej $SP$SP. Objętość obliczamy ze :

Tutaj $H$H jest wysokością ostrosłupa. Prostsze zadania z matury podstawowej zostały zebrane w osobnym typie .

W tym wariancie dany lub szukany kąt leży w trójkącie prostokątnym wyznaczonym przez wysokość ostrosłupa, wysokości ścian bocznych i odcinki w podstawie. Długości wyrażamy za pomocą i tego kąta przez jedną lub dwie zmienne, a brakujące długości obliczamy z .

W tym zadaniu szukamy — leży on w trójkącie $POS$POS przy wierzchołku $P$P. Wszystkie krawędzie są równe, więc wysokość ściany jest wysokością trójkąta równobocznego.

Tutaj dany jest kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych — jego połowa leży w trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątną jest połowa odcinka łączącego środki sąsiednich krawędzi podstawy. Objętość wyrażamy przez dane pole i ten kąt.

W tym wariancie ostrosłup przecina płaszczyzna zawierająca krawędź podstawy albo odcinek do niej równoległy, który łączy środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy. Przekrój jest o dolnej podstawie $a$a, a jego górna podstawa $x$x leży w ścianie bocznej, którą przecina płaszczyzna. Rysujemy przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $S$S i prostopadłą do podstaw trapezu — leżą w nim wysokość trapezu i wysokość $SP$SP przeciętej ściany bocznej. Górną podstawę obliczamy z w tej ścianie:

Tutaj $T$T jest punktem, w którym płaszczyzna przekroju przecina wysokość $SP$SP. Pole przekroju obliczamy ze .

W tym zadaniu płaszczyzna przechodzi przez krawędź podstawy i jest prostopadła do przeciwległej ściany bocznej, więc wysokość trapezu jest prostopadła do wysokości tej ściany. Wszystkie odcinki wyrażamy przez krawędź podstawy i dany cosinus kąta nachylenia ściany.

Tutaj płaszczyzna również jest prostopadła do ściany bocznej, ale przechodzi przez środki dwóch przeciwległych krawędzi podstawy, a jej kąt z podstawą ma miarę szczególną. Długości obliczamy z $90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ$90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ, a krawędź podstawy — z objętości.

Tutaj płaszczyzna dzieli na połowy kąt między ścianą boczną a podstawą, więc w przekroju przez wysokości przeciwległych ścian powstaje trójkąt o dwóch znanych kątach. Jego boki obliczamy z , a wynik wyrażamy przez $a$a i $\alpha$\alpha.

W tym wariancie interesuje nas kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi, czyli przy krawędzi bocznej. Z definicji mierzymy go w płaszczyźnie prostopadłej do tej krawędzi. Wysokości ścian $BCS$BCS i $CDS$CDS opuszczone na krawędź $SC$SC mają wspólny spodek $E$E, a szukany kąt to kąt $BED$BED. Trójkąt $BED$BED jest równoramienny, więc odcinek $OE$OE dzieli ten kąt na połowy; jest on jednocześnie wysokością trójkąta prostokątnego $SOC$SOC opuszczoną na przeciwprostokątną.

Zadania o kącie między ścianami ostrosłupa, który nie jest prawidłowy, zostały zebrane w osobnym typie .

W tym zadaniu kąt między ścianami ma miarę szczególną, więc połowa trójkąta $BED$BED ma kąty $90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ$90^\circ,\ 60^\circ,\ 30^\circ. Drugą zależność daje podobieństwo trójkątów prostokątnych w przekroju przez przekątną podstawy.