(nowa formuła)
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność .
Stąd wynika, że
k=2k=2k=2k=2
k=4k=4k=4k=4
k=5k=5k=5k=5
k=9k=9k=9k=9
Nierówności liniowe z wartością bezwzględną – zbiór rozwiązań i/lub ich geometryczna interpretacja
Dana jest funkcja określona wzorem
Równanie ma dokładnie
jedno rozwiązanie
dwa rozwiązania
cztery rozwiązania
pięć rozwiązań
Równanie z wartością bezwzględną
Liczba jest równa
27−24327-24\sqrt{3}27−24327-24\sqrt{3}
27−30327-30\sqrt{3}27−30327-30\sqrt{3}
135−783135-78\sqrt{3}135−783135-78\sqrt{3}
135−303135-30\sqrt{3}135−303135-30\sqrt{3}
Wzory skróconego mnożenia: potęga trzeciego stopnia
Równanie w przedziale
nie ma rozwiązań rzeczywistych.
ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Własności i wykresy funkcji trygonometrycznych
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu jest równa
55\displaystyle \frac{\sqrt{5}}5{} 55\displaystyle \frac{\sqrt{5}}5{}
455\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}5{} 545\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}5{}
45\displaystyle \frac{4}{5} 54\displaystyle \frac{4}{5}
4444
Odległość punktu od prostej
Oblicz granicę
Granica ciągu
Liczby i są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej . Oblicz .
Funkcja kwadratowa
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
Dowodzenie nierówności
Dwusieczne czworokąta wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: (zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie można opisać okrąg.
Dowodzenie w planimetrii
Długości boków czworokąta są równe: , , , . Na czworokącie opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.
Twierdzenie sinusów i cosinusów
W pierwszej urnie umieszczono 6 kul białych i 4 kule czarne, a w drugiej urnie 5 kul białych i 7 kul czarnych. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze trzy kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą czarne.
Prawdopodobieństwo całkowite
Funkcja określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji , które są równoległe do prostej o równaniu .
Styczna do wykresu funkcji w punkcie
Dany jest trójmian kwadratowy . Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste , spełniające warunek .
Równania kwadratowe – z parametrem (warunki na liczbę rozwiązań, własności pierwiastków)
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat . Krawędź boczna jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi i tego ostrosłupa.
Inne graniastosłupy i ostrosłupy
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu jest równa . Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej . Oblicz współczynniki i . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Pierwiastki wielomianu
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Optymalizacja w stereometrii
