Matura (maj 2016, poziom podstawowy, (stara formuła))

Dla każdej dodatniej liczby iloraz jest równy

Liczba jest równa

Liczby i są dodatnie. Liczba stanowi liczby oraz liczby . Wynika stąd, że

Równość jest prawdziwa dla

Jedną z liczb, które spełniają nierówność , jest

Proste o równaniach i przecinają się w punkcie . Stąd wynika, że

Punkty leżą na okręgu o środku (zobacz rysunek). Miara kąta jest równa

Dana jest funkcja liniowa . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Równanie wymierne , gdzie ,

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt . Liczby i to miejsca zerowe funkcji .

Zbiorem wartości funkcji jest przedział

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej . Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt . Liczby i to miejsca zerowe funkcji .

Najmniejsza wartość funkcji w przedziale jest równa

Funkcja określona jest wzorem dla każdej liczby rzeczywistej . Wtedy jest równa

W okręgu o środku w punkcie poprowadzono cięciwę , która utworzyła z promieniem kąt o mierze (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość . Odległość punktu od cięciwy jest liczbą z przedziału

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy , a różnica tego ciągu jest równa . Siódmy wyraz tego ciągu jest równy

Ciąg jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Przedstawione na rysunku trójkąty i są podobne. Bok trójkąta ma długość

Kąt jest ostry i . Wtedy

Z odcinków o długościach: można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że

Okręgi o promieniach i są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu w punkcie przechodzi przez środek okręgu o promieniu (zobacz rysunek).

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności , jest równe

Proste opisane równaniami oraz są prostopadłe, gdy

W układzie współrzędnych dane są punkty oraz . Środkiem odcinka jest punkt . Wynika stąd, że

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy

Kąt rozwarcia stożka ma miarę , a tworząca tego stożka ma długość . Objętość tego stożka jest równa

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt o mierze

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: , jest równa . Mediana tych liczb jest równa

Rozwiąż nierówność .

Rozwiąż równanie .

Kąt jest ostry i . Oblicz wartość wyrażenia .

Dany jest trójkąt prostokątny . Na przyprostokątnych i tego trójkąta obrano odpowiednio punkty i . Na przeciwprostokątnej wyznaczono punkty i takie, że (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt jest podobny do trójkąta .

Ciąg jest określony wzorem dla . Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

W skończonym ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest równy oraz ostatni wyraz jest równy . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa . Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o . Oblicz kąty tego trójkąta.

Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa . Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.